Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины

Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).

Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой

S = P (1 + ni ),

где S – наращенная сумма денег;

Р - первоначальная сумма денег,

i - ставка простых процентов;

Pi - начисленные проценты за один период;

n – число периодов начисления процентов;

Pni – начисленные проценты за п периодов.

Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов

S = P + I ,

где I = Pni – сумма процентов.

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;

2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

где п - срок финансовой операции в долях года;

Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);

t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).

В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.

Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.

Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).

Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;

п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования

где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:

Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:

На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.

Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.

Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.

Существует два вида дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной

Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.

Дисконт наращенной суммыравен

D = S - Р ,

где D – дисконт.

2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

В этом случае современная величина денежных средств находится

P =S (1 - nd ),

где d – учетная процентная ставка.

Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd .

Простая годовая учетная ставка находится

Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.

Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:

Учетная ставка может использоваться для наращения:

Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи

При антисипативном способе начисления процентов сумма по­лучаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной сум­мы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называ­ется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт - это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз­ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь d(%} - простая годовая учетная ставка;

d - относительная величина учетной ставки;

Dς - сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D - общая сумма процентных денег;

S - сумма, которая должна быть возвращена;

Р - сумма, получаемая заемщиком.

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

D = n D ς, = n d S;

P=S-D=S(1-nd) = S.

Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для опре­деления наращенной суммы:

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут при­нимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (2.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля, т. е. (1 - nd) > 0, или d < 1/n. Прав­да, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обяза­тельств. Вопрос получения дохода по векселям будет подробно рассмотрен в разделе 2.8.

Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

Пример 7

Кредит выдается на полгода по простой учетной ставке 20%. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 30 000 000 руб. Решение По формуле (2.4) получаем

Р = 30 000 000 (1 - 0,5 0,2) = 27 000 000 (руб.). Далее

D = S - Р = 30 000 000 - 27 000 000 = 3 000 000 (руб.).

Кредит в размере 40 000 000 руб. выдается по простой учетной ставке 25% годовых. Определить срок, на который предоставляет­ся кредит, если заемщик желает получить 35 000 000 руб.

Расчет проводится по формуле (2.6):

п = (40 000 000 - 35 000 000)/(40 000 000 0,25) = 0,5 года.

По формуле (2.7):

d=(10000000-9000000)/(10000000-0,5) =0,2=20%.

2.3. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. на­численные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют фор­мулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоя­щее время являются весьма распространенным видом применяе­мых в различных финансовых операциях процентных ставок.

i с - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

kн.с - коэффициент наращения в случае сложных процен­тов;

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прошест­вии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7), составит

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S 1:

S 2 = S 1 (l + i c) = P (l + i c) 2

S=P(1+i c) n (3.1)

Множитель наращения k н.с соответственно будет равен

k н.с = (1 + i с) n (3.2)

При начислении простых процентов он составил бы по форму­лам (1.5) и (1.7):

k н = (1 + n i).

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов нара­щения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью графи­ков, изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по верти­кальной - тысячи рублей. Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка - 30% годовых. Верхняя линия соответ­ствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненци­ального роста (чем больше п, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю простых про­центов) является прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда возникает возможность выбора межцу низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в на­шем распоряжении более или менее значительный период време­ни. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, на­ращенную по простой ставке (см. рис. 1). Подробно этот вопрос рассматривается в разделе 2.5.

Рис. 1. Наращение вложенной суммы по простои и сложной процентным ставкам (i = i с = 30%)

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множи­тель наращения определяют по выражению:

k н.с. =(1+i c) na (1+ n bi c),

где n = n а + n b

n а - целое число лет;

n b - оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входя­щих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при n b = 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть операция извлече­ния квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в дей­ствительности, результат.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы де­нежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказать­ся вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий оценить разницу в результатах при двух способах вычисления множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n1, п2, ..., пN- продолжительность интервалов начисле­ния в годах; i1, i2, ..., iN - годовые ставки процентов, соответст­вующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит

S 1 = Р(1+ n 1 i 1).

В конце второго интервала:

S 2 =P(l+n 1 i 1)(l+i 2)

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обыч­но на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, фор­мула (3.4) принимает вид:

S N = P(1 +тi) N .

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номи­нальная ставка процентов у - годовая ставка, по которой опреде­ляется величина ставки процентов, применяемая на каждом ин­тервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной процент­ной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S mn =P(1+j/m) mn ,

где тп - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn - целое число интервалов начисления, I - часть ин­тервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

S=P(1+j/m) mn (1+Ij/m). (3.7)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части - формула про­стых процентов (1.7).

В России в настоящее время наиболее распространенным явля­ется начисление процентов по полугодиям, поквартальное и еже­месячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное на­числение сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т - к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит сле­дующее выражение:

(3.8)

Для расчетов можно использовать известную в математике фор­мулу:

где е= 2,71828...

Из этой формулы следует:

Тогда для наращенной суммы получаем

Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения е jn и других тре­буемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов да­ет максимальную величину наращенной суммы при прочих рав­ных условиях (т. е. при одинаковых n,j, Р).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (3.1) получаем

Напомним, что, как и в случае простых процентов, определение современной величины суммы S называется дисконтированием.

Коэффициент дисконтирования а является величиной, обрат­ной коэффициенту наращения, т. е. k н.с * а = 1.

Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают лег­ко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) имеем

Из формулы (3.6):

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям фор­мулы (3.1), получаем

Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процент­ной ставки.

Правило «72»:

Правило «69» (более точное):

Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих правил используются математические формулы, дающие верный резуль­тат не для любых значений входящих в них величин. Например, выражение 1/х <= х (х > 0) неверно при х < 1.

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях i с (%). До i c (%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, напри­мер, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом i c . При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» - меньше.

В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годо­вых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (3.14) и по правилам «б9» и «72».

а) n = ln 2/ln 1,2 = 3,8 года, или

n = 72/20 = 3,6 года, или

n = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) л = ln 2/ln 2,1 = 0,93 года, или

n = 72/110 = 0,65 года, или

n = 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным зна­чением - 18 дней).

Следующие примеры иллюстрируют использование получен­ных формул.

Первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. Опреде­лить наращенную сумму через пять лет при использовании про­стой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить

этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

По формуле (1.7) для простых процентных ставок имеем

S = 200 000 (1 +5 *0,28) = 480 000 (руб.). По формуле (3.1) для сложных процентов:

S = 200 000 (1 + 0,28) 5 = 687 194,7 (руб.). По формуле (3.6) для начисления по полугодиям:

S= 200000(1 + 0,14) 10 = 741 444,18 (руб.). Из той же формулы для поквартального начисления:

S=200 000 (1 + 0,07) 20 = 773 936,66 (руб.). По формуле (3.9) для непрерывного начисления:

S = 200 000 е 1,4 = 811 000 (руб.).

Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начис­ления сложных процентов по ставке 25% годовых.

По формуле (3.3) получаем S=50000000(1 +0,25)2(1 +0,125) =87890625 (руб.).

Для второго способа используем формулу (3.1) с нецелым по­казателем степени:

S = 50 000 000 (1 + 0,25)2"5 = 87 346 390 (руб.).

Отчетливо видно расхождение: при использовании приблизи­тельного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 000 руб.

Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Воспользуемся формулой (3.11):

Р = 100 000 000/0 + 0,24) 3 == 52 449 386 (руб.).

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применя­ются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда ин­тервал начисления совпадает с периодом начисления (и составля­ет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждо­го интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут приме­няться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Под наращенной суммой ссуды (долга,депозита,других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель наращения , который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов примем обозначения:

I -проценты за весь срок ссуды;

P -первоначальная сумма долга;

S -наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока;

i -ставка наращения процентов;

n -срок ссуды.

Если срок измеряется в годах, то i означает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме Pi . Начисленные за весь срок проценты составят

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S=P+I=P+Pni=P(1+ni).

Это выражение называют формулой простых процентов , а множитель (1+ni)-множителем наращения простых процентов . Определение современной величины Рнаращенной суммы Sназывается дисконтированием , а определение величины наращен­ной суммы S - компаундингом.

2. Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам

При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получае­мой попрошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая опера­ция называется дисконтированием по учетной ставке, а также ком­мерческим или банковским учетом.

Дисконт - это доход, полученный по учетной ставке, т. е. раз­ница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой.

Пусть теперь

d(%) - простая годовая учетная ставка;

d - относительная величина учетной ставки;

D г - сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

D - общая сумма процентных денег;

S- сумма, которая должна быть возвращена;

Р - сумма, получаемая заемщиком.

Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

Р= S- D= S(l-nd) = S.

Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для оп­ределения наращенной суммы:

S=P/(1-nd)=P/(1-d*d/K)

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая про­стых ставок ссудного процента простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в пра­вой части был строго больше нуля, т. е. (1 - nd) >0, или d< 1/n. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли мож­но встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств. Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

d=(S-P)/Sn=(S-P)*K/Sd

Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S , периоду начисления п и про­стой процентной ставке i Р: S = Р(1 + ni ) =* Р = S /(1 + ni )

Начисление сложных годовых процентов

Сложным процентом принято называть эффект, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании новой прибыли.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом капитализации (начислении процентов).

Пусть Р - первоначальная сумма,

S - наращенная сумма,

i - годовая процентная ставка (проценты сложные).

Так как проценты сложные, то в конце каждого интервала начисления процентная ставка применяется к наращенной сумме на начало этого интервала начисления.

Предположим, что первоначальная сумма Р была помещена в банк под i процентов годовых (проценты сложные).

Прошел 1 год. Тогда наращенная сумма S = Р (сумма на начало этого интервала начисления) + iP (проценты) = = Р(1 + i ).

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 2 года). Тогда наращенная сумма после двух лет S = Р(1 + i) (наращен­ная сумма после одного года) + iP (l + i ) (проценты) = = Р(1 + i)(l + 0 = Р(1 + i ) 2

Прошел еще 1 год (то есть вклад лежит уже 3 года). Тогда наращенная сумма после трех лет S = Р(1 + i ) 2 (наращенная сумма после двух лет) + iP (1 + i ) (проценты) = = Р(1 + i) 2 (l +i ) = Р(1 + i ) 3 .

Если п - период начисления процентов (в годах), то на­ращенная сумма через п лет

S = Р(1 + i ) n .

Дисконтирование по сложной ставке процента

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов.

Математическим дисконтированием называется операция, когда по наращенной сумме S , периоду начисления п и слож­ной процентной ставке i нужно определить первоначальную сумму Р.

Эквивалентность процентных ставок

Две ставки называются эквивалентными, если при одинаковой первоначальной сумме Р и на одинаковом периоде начисления п они приводят к одинаковой наращенной сум­ме S.

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

При сравнении двух ставок из разных классов для одной из них находят эквивалентную ей ставку из другого класса и проводят сравнение двух ставок из одного класса.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа­ях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения раз­личных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок использу­ют уравнения эквивалентности, принцип составления которых за­ключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух вы­ражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между про­центными ставками различного вида.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные в пре­дыдущих вопросах этой темы:

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различ­ными процентными ставками.

Список использованной литературы: основная литература 1-4

Понятие ренты, ее виды

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике. Заработная плата выплачивается, как правило, в виде потока платежей 2 раза в месяц, примерно через 15 дней. Плата за квартиру - поток, как правило, ежемесячных платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля, внося ежемесячно на счет в банк некоторую сумму, и т.д. Регулярные взносы в пенсионный фонд - это пример аннуитета. Поэтому изучение потоков платежей очень важно.

Поток платежей - это последовательность величин самих платежей (со знаками) и моментов времени, когда они осуществлены.

Платеж со знаком плюс, который может быть опущен, - это поступление, платежи со знаком минус представляют собой выплаты.

Рентой называется последовательность периодических выплат, обычно равных по величине, осуществляемых через равные промежутки времени.

Аннуитет (финансовая рента) - это ряд последователь­ных платежей через одинаковые промежутки времени.

Наиболее распространенными примерами рент являются выплаты по облигациям, премии по страхованию, выплаты потребительских кредита и т.д.

Привести пример аннуитета.

Rj - это величина отдельного платежа ренты.

Временной интервал между двумя последовательными выплатами называется периодом ренты.

Срок от начала первого периода до конца последнего называется сроком ренты.

Интервал ренты - это время между двумя последовательными платежами. Если все платежи равны между собой, то это постоянная рента, иначе - переменная рента .

Различают два основных типа рент:

1. Безусловные ренты - это ренты с фиксированным сроком, т.е. даты первой и последней выплаты определены до начала ренты.

2. Условные ренты - ренты, в которых дата первой или последней выплаты зависит от некоторого события. Например, пенсия или премия по страхованию жизни.

Виды ренты:

1. обычная илипостнумерандо, выплаты производятся в конце каждого периода

2. приведенная (авансированная или пренумерандо), если выплаты - в начале каждого периода.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная процентная ставка i.

Наращенная (будущая) сумма ренты S - это все платежи вместе с процентами на дату последней выплаты.

Современная (приведенная) стоимость ренты - это все платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования.

Существуют ренты:

1. верные(выплата не ограничена никакими условиями)

2. условные (выплата обусловлена наступ­лением какого-то события). Страховые взносы - это пример условной ренты.

Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время.

Пусть р- число рентных платежей в году, а число mпоказывает, сколько раз в году начисляются проценты.

Ренты, для которых р = m , называются простыми.

Ренты, для которых р ≠ m , называются общими.

Понятие простой ренты и расчеты, связанные с нахождением ее параметров

Текущим значением ренты называется денежная сумма, эквивалентная множеству всех выплат в начальный момент ренты.

Наращенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалентная множеству всех выплат в конце всего срока ренты.

Для обычной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение - в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значение зависят от процентной ставки, используемой в уравнении эквивалентности. Так период ренты может совпадать или не совпадать с периодом начисления процентов. Ренты по этому признаку классифицируются на простые и общие соответственно.

Пусть R- ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной став­ке i, n- срок ренты.

R R R ... R R R

0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму R(l + i) n -1 . Платеж в конце 2-го года даст наращенную сум­му R (1 + i) n -1 . Платеж в конце 3-го года даст наращенную сумму R (1 + i) n -3 и т. д.

Наращенная (будущая) сумма ренты S = R(l + i) n -1 + R(l + i) n -2 + R(l + i) n -3 + + ... + R(l + i) n + R. Мы получили сумму nпервых членов геометрической прогрессии с b = Rи знаменателем q= 1 + i.

S=b 1 (g n -1)/ (g-1) = R((1-i) n -1) / ((1-i) -1) = R((1-i) n -1) / i

R R R ... R R R

01 2 3 ...n-2 n-1 n

Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость R(l + i) n . Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму R(l + i) n -1 . Платеж в конце 3-го года даст наращенную сум­му R(l + i) n -2 И т. д.

Наращенная (будущая) сумма ренты S = R(l + i) n + R(l + i) n -1 + R(l + i) n -2 + + ... + R(l + i) 2 R(l + i). Мы получили сумму nпервых членов геометрической прогрессии с b = Rи знаменателем q= 1 + i.

S=b 1 (g n -1)/ (g-1) = R*(1-i)* ((1-i) n -1) / ((1-i) -1) = R*(1-i)* ((1-i) n -1) / i

R R R ... R R R

01 2 3 ...n-2 n-1 n

Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость R/(l + i). Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму R/(l + i) 2 . Платеж в конце 3-го года даст наращенную сум­му R/(l + i) 3 И т. д.

Современная стоимость рентыА = R/(l+ i) + R/(l + i) 2 + R/(l + i) 3 +…+ R/(l + i) n -1 + R/(l + i) n .Мы получили сумму nпервых членов геометрической прогрессии b1=R/(l+ i) и знаменателем q = 1/(1 + i).

ТогдаА = b 1 (g n -1)/ (g-1) = R/(l + i)*(1/(1+i) n -1)/ (1/(1+i)-1)=

= R (1-1/(1+ i ) n )/ i

Это современная стоимость простой ренты постнумерандо. Подставив в эту формулу вместо Rвеличину R(l + i), мы получим современную стоимость простой ренты пренумерандо

А= R *(1+ i )*(1-1/(1+ i ) n )/ i

Зная процентную ставку i, количество выплат n и наращенную сумму S(или современную стоимость А) простой ренты, можно определить величину отдельного платежа R. Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая) сумма ренты S=R((1-i) n -1) / I. Отсюда R=S*i/ ((1-i) n -1)

Для простой ренты пренумерандо наращенная (будущая)сумма ренты S=R*(1-i)* ((1-i) n -1) / I

Отсюда R=S*i/ (1+i)*((1-i) n -1))

Зная величину отдельного платежа R, процентную ставку iи наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно определить количество выплат n.

Для простой ренты постнумерандонаращенная (будущая) S=R((1-i) n -1) / I.

Отсюда (1 + i) n - 1 = Si/R =>

n = ln (1+ Si / R ) / ln (1+ i )

Подставив в последнюю формулу вместо Rвыражение R(1-i).мы получим срок ренты пренумерандо:

n= ln (1+ Si/R(1+i)) /ln (1+i)

А = R*(1-1/(1+i) n )/I

Отсюдаn =-ln (1-Ai/R) /ln (1+i)

Подставив в последнюю формулу вместо Rвыражение R(1+i), мы получим срок ренты пренумерандо:

n =-ln (1-Ai/R(1+i)) /ln (1+i)

Зная величину отдельного платежа R, количество выплат nи наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно попытаться найти процентную ставку. Но получается нелинейное уравнение.

Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время - период отсрочки.

Список использованной литературы: основная литература 1-4

Понятие общей ренты и расчеты, связанные с нахождением ее параметров

Подставив в формулу для наращенной суммы простой ренты S=R((1-i) n -1) / I. и выражения R = Wi/((1 + i) m / P - 1).мы найдем наращенную сумму общей ренты:

S = W ((1- i ) n -1) / ((1 + i ) m / P - 1).

Здесь n- это общее количество интервалов начисления процентов за весь срок ренты.

Подставив в формулу для современной стоимости простой рентыА= R *(1-1/(1+ i ) n )/ I выражение R = Wi/((1 + i) m / P - 1), мы найдем современную стоимость общей ренты: А = W * I *(1-1/(1+ i ) n )/ ((1 + i ) m / P - 1)

Преобразование простой ренты в общую ренту.

Пусть р- число рентных платежей в году, а число mпоказывает, сколько раз в году начисляются проценты. Для об­щей ренты р ≠m, а для простой ренты р = m.

Для простой ренты довольно несложно определяются все ее параметры. Поэтому для вычисления параметров общей ренты очень важно уметь преобразовывать общую ренту в простую ренту.

Пусть Wи R- величины выплат общей и простой рент соответственно, р - число рентных платежей в году для общей ренты, m- число интервалов начисления процентов в году, jи i - процентные ставки за интервал начисления про­центов общей и простой рент соответственно, n- общее чис­ло интервалов начисления процентов.

Данные ренты эквивалентны, то есть процентные ставки за периоды рент совпадают и эквивалентные этим рентам зна­чения, соответствующие одному и тому же моменту времени, совпадают. Тогда (1 + j) p = (1 + i) m =>j= (1 + i) m / P - 1.

Наращенные суммы для обеих рент одинаковы:

R*(1-i)* ((1-i) n -1) / I - 1)= W((1 + i) m/P - 1)/j

R/I = W/j R= Wi/j = Wi/((1 + i) m/P - 1)

Простая бессрочная рента. Общая бессрочная рента. Бессрочная рента пренумерандо.

Под «вечной» годовой рентой понимается рента, последовательность платежей которой неограниченна, предполагается, что рента будет выплачиваться неограниченно долго.

Бессрочная рента - это рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком. Существует множество примеров бессрочных рент, простейший из них, наверно, - последовательность периодических выплат процентов на продуктивно инвестированный капитал. Классификация бессрочных рент (на обычные, приведенные, отложенные и т.д.) полностью совпадает с классификацией рент (конечных), которые рассматривались выше. Например, обычная простая бессрочная рента - это множество периодических платежей, производимых бесконечно долго в конце каждого последовательного периода начисления процентов. Простая бессрочная рента

Бессрочная рента не ограничена никаким сроком, то есть срок ренты

R R R ... R R R

01 2 3 ...n-2 n-1 n

Современная стоимость простой бессрочной ренты

A=R/i. ОтсюдаR = Ai.

Общая бессрочная рента - это бессрочная рента, для которой период выплат отличается от периода начисления процентов.

Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессрочной ренты постнумерандо только платежом в момент времени t= 0. Поэтому для простой бессрочной ренты пренумерандо современная стоимостьА - R + R/i, а для общей бессрочной ренты пренумерандо современная стоимость

А = W + R/i = W+ Wi/((1 + i) m/P - 1)i= W/(1-1/(1 + i) m/P )

Список использованной литературы: основная литература 1-4

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Определение 1.1. Процентные ставки называются простыми, если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления .

Простые процентные ставки могут быть декурсивными и антисипативными.

При начислении процентных ставок используют два метода: метод наращения и метод дисконтирования.
1.1. Наращение по простой процентной ставке (FV по r )
Метод наращения используется для простых ставок ссудных процентов, которые обычно применяются в краткосрочных операциях , когда интервал начисления совпадает с периодом и составляет, как правило, меньше года.

Введем обозначения:

(Present Value of Manay ) – современная величина денег, или величина первоначальной денежной суммы;

(Interest ) – сумма процентных денег, выплачиваемых за год.

Простая годовая ставка ссудного процента (далее просто процентная ставка) будет определяться по формуле

,

где (Interest ) – процент, (Rate ) – ставка.

В дальнейшем мы будем использовать относительную величину процентной ставки (десятичную дробь): вместо

будет

.

Обозначим через продолжительность периода начисления процента в годах. Тогда общая сумма процентов за весь период начисления равна:

.

Обозначим через

(Future Value of Manay ) будущее значение денег (наращенная сумма) и запишем формулу для ее нахождения:

.

Отношение будущей суммы к текущей сумме называется коэффициентом наращения и обозначается следующим образом:

.

Учитывая предыдущие формулы, получим окончательный вид для определения наращенной суммы по годовой процентной ставке.

.

Из предыдущей формулы найдем коэффициент наращения:

.

Обозначим через – продолжительность периода начисления в днях, – продолжительность года в днях, эта величина называется временной базой для расчета процентов. огда срок проведения операции корректируется по формуле

.

С учетом этого основная формула для определения наращенной суммы для краткосрочной операции, сроком менее одного года будет иметь вид:

.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции различают точный или коммерческий процент.

Точный процент получают, когда временная база равняется фактическому числу дней в году (365 или 366), а в качестве берется точное число дней ссуды. Дата выдачи и дата погашения ссуды считается за один день. Точное число дней ссуды определяется по специальной таблице, где указывается порядковый номер каждого дня года.
Обыкновенный, или коммерческий, процент получают, если в качестве временной базы используют условный или финансовый год, который равен 360 дням (каждый месяц по 30 дней).

Срок операции в днях может быть приблизительным (каждый месяц по 30 дней) и точным. Таким образом, в зависимости от параметров и возможны следующие варианты начисления процентов:

1.

или

– точное число дней проведения операции и фактическое количество дней в году;

2.

– точное число дней проведения операции и финансовый год;

3.

– приблизительное число дней и финансовый год.

Приблизительное число дней проведения операций используется , когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа, а обыкновенный или коммерческий процент более удобно использовать в аналитических расчетах. Точные проценты обычно используются в официальных методиках Центрального банка России.

Пример 1. Ссуда в размере 50 тысяч денежных единиц выдана на 6 месяцев по простой ставке процентов 28 % годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Используем формулу

; 50 000(1+0,28∙0,5)=57 000 (ден. ед.).

Ответ. Наращенная сумма равна 57 000 денежных единиц.
Пример 2. Кредит в размере 10 миллионов денежных единиц выдан 2 марта до 11 декабря под 30 % годовых. Год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов расчета процента .

Решение. Точный процент находим по формуле

;

; FV =10 000 000(1+0,30∙284/360)=12 327 868 (ден. ед.)

Коммерческий процент с точным числом дней в году найдем по формуле

FV = 10 000 000 (1+0,30∙284/360)=12 366 666 (ден. ед.)

Коммерческий процент с приближенным числом дней в году найдем по формуле =(30 дн.∙8 мес.=240)+(29 дн. марта)+(11 дн. декабря)= 240+40=280;

FV = 10 000 000 (1+ 0,30∙280/360) = 12 333 333 (ден. ед.).

Ответ. Наращенная сумма, полученная при начислении точного процента равна 12 327 868 денежным единицам. Наращенная сумма, полученная при начислении коммерческого процента с точным числом дней в году равна 12 366‍ 666 денежным единицам. Наращенная сумма, полученная при начислении коммерческого процента с приближенным числом дней в году равна 12 333 333 денежным единицам.
Пример 3. Найти сумму простого процента начисляемого за ссуду 3 000 денежных единиц на 5 месяцев при годовой ставке 7%.

Решение. Для решения примера используем формулу

=3 000(1+0,07∙5/12)=3 087,5 (ден. ед.). Сумма процентных денег будет равна разности FV – PV = 3 087,5 – 3 000 = 87,5 (ден. ед.)

Ответ. Сумма простого процента составит 87,5 денежной единицы.
Пример 4. Найти точный простой процент и итоговую сумму, если 5 000 денежных единиц даны взаймы на 100 дней при годовой процентной ставке 4 %.

Решение. Используем формулу

= 5 000∙ (1+0,04∙100/365) = 5 054,8. Сумма процентных денег будет равна разности FV – PV = 5 054,8 – 5 000 = 54,8 (ден. ед.)

Ответ. Сумма простого процента составит 54,8 денежной единицы, а наращенная сумма – 5 054,8 денежной единицы.
Пример 5 . Человеку, который инвестировал 100 000 денежных единиц, возмещено 101 000 денежных единиц девяноста днями позже. С какой годовой ставкой зарабатывались эти деньги при обыкновенном простом проценте?

Решение. Итак, нам известны FV = 101 000, PV = 100 000, = 90,

n =/ 360= 90/360=1/4. Воспользуемся формулой

или r =

=

= 0,04 или 4 % годовых.

Ответ. Процентная ставка равна 4 % годовых.
1.2. Метод дисконтирования по простым процентам. Математическое дисконтирование (PV по r )
Определение 1.2.1. Дисконтированием называют приведение стоимостного показателя, относящегося к будущему на некоторый более ранний промежуток времени (т.е. по величине

находим

). В этом случае говорят, что сумма дисконтируется или учитывается.

Процесс начисления процентов и их удержание в этом случае называют учетом , а сами удержанные проценты – дисконтом .

Величину , найденную с помощью дисконтирования , называют современной капитализированной стоимостью или компаундингом .

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования:

1) математическое дисконтирование (используется обычная процентная ставка );

2) коммерческое дисконтирование, или банковский учет, (применяется учетная процентная ставка ).

Математическое дисконтирование представляет собой задачу, обратную наращению, и сводится к определению величины по известным величинам FV , и числа периодов , то есть из формулы

Следует

Разность между будущей и текущей суммами называют дисконтом

.

Пример 1. Кредит выдается под простую ставку 26 % годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, полученную заемщиком и дисконт (сумма процентных денег), если требуется вернуть 40 млн денежных единиц.

Решение.

(ден. ед.);

Тогда разность между будущей и текущей суммами будет равна: (ден.ед).

Ответ. Сумма, полученная заемщиком, составит 33 955 857 денежных единиц, сумма процентных денег – 6 044 142 денежные единицы.
Пример 2 . Через 60 дней после займа Иванов выплатил ровно 10 000 денежных единиц. Сколько было занято, если 10 000 денежных единиц включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12 %?

Решение. Даны FV = 10 000, r = 0,12 , n = 60/360=1/6. Воспользуемся формулой

, откуда PV =

= 10 000/(1+0,02)=9 803,9 (ден. ед.)

Ответ. Сумма займа составляет 9 803,9 денежной единицы.
1.3. Коммерческое дисконтирование или банковский учет (PV по d )
При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т.е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита или ссуды.

Упражнение 2. Найти обыкновенный простой процент и итоговую сумму для 150 000 денежных единиц при ставке 5 % годовых за 90 дней.

Упражнение 3. Банк начисляет 5 денежных единиц обыкновенного простого процента за использование 300 денежных единиц в течение 60 дней. Какова процентная годовая ставка таких сделок?

Упражнение 4. При приобретении товаров покупатель может заплатить или 500 денежных единиц сразу, или 520 денежных единиц через четыре недели. Если он займет деньги, чтобы заплатить наличными, какая процентная ставка может быть допустима для возмещения займа?

Упражнение 5. Найти значение PV если FV = 4 800 денежных единиц, процентная ставка r =7 %, n =.

Упражнение 6. Найти FV , если PV =7 000 денежных единиц, r =8 % и n =.

Упражнение 7. Какая основная сумма приведет к итогу в 13 900 денежных единиц через 90 дней при процентной ставке 8 % обыкновенного простого процента?

Упражнение 8. Какая основная сумма приведет к итогу в 7 800 денежных единиц за 5 месяцев, если процентная ставка равна 8 %.

Упражнение 9. Сколько дней понадобиться, чтобы 7 000 денежных единиц «заработали» 100 денежных единиц, если они инвестируются при 9 % обыкновенного простого процента?

Упражнение 10. Найти FV c точными и обыкновенными простыми процентами, если:

1. 
   PV = 28 000, r =7 %, n =189 дней
2. 
   PV = 96 000, r =6 %, n =227 дней
3. 
   PV = 69 500, r =4,5 %, n =95 дней
4. 
   PV = 18 700, r =12 %, n =128 дней

Упражнение 11. FV =170 000 денежных единиц, d = 5 %, период - два месяца. Найти PV и D .

Упражнение 12. FV =250 000 денежных единиц, d PV и D .

Упражнение 13. РV =250 000 денежных единиц, d =7 %, период от 15 мая до 26 июля. Найти D и FV .

Упражнение 14. Вексель с суммой погашения 100 000 денежных единиц продан с учетной ставкой 3,5% за 75 дней до даты погашения. Найти D – дисконт и PV – выручку.

Упражнение 15. Найти выручку в условиях предыдущей задачи , если вместо учетной ставки дана простая процентная ставка 3,5 %

Упражнение 16. Вексель с суммой погашения 60 000 денежных единиц 15 августа продан за 59 000 денежных единиц 16 июня. Какая учетная ставка была использована? Какую процентную ставку реализовал покупатель в результате сделки?

Упражнение 17. При получении товара торговец подписал вексель, обязуясь заплатить 240 млн денежных единиц через 60 дней. Найти выручку, если поставщик продает вексель банку, который использует 6,5 % учетную ставку. Какую прибыль получит постав­щик, если товар стоит 190 млн денежных единиц?

Упражнение 18. Инвестор ссудил 34 млн денежных единиц и получил вексель с обязательством заплатить эту сумму плюс 7% простых процентов через 90 дней. Век­сель был немедленно продан банку, который на­числяет 6 % по учетной ставке. Сколько заплатил банк за вексель? Какова прибыль инвес­тора? Какую норму процента реализует банк при погашении, векселя?

Упражнение 19. Банк заплатил 44 000 денежных единиц за вексель с суммой погашения 45 000 денежных единиц через четыре ме­сяца. Какова учетная ставка? Какова простая процентная ставка?

Упражнение 20. 1 апреля 2007 г. Через 150 дней после указанной даты я обя­зуюсь заплатить Иванову 275 000 денежных единиц и обык­новенный простой процент при 6 % годовых.

Подпись Петров

Найти сумму погашения. Какая норма банковской учетной ставки дала бы такой же результат?

Упражнение 21. 1 июня 2007 г. Я, Иванов, обязуюсь выплатить Петрову ровно 10 000 денежных единиц через 60 дней после указанной выше даты.

Подпись Иванов

1 июня, когда Иванов подписал вексель, он получил 9500 денежных единиц. Какую процентную ставку обыкновенного простого процента установил Петров? Какая норма банковской учетной ставки дала бы такой же результат?

Упражнение 22. Просьба ссудить 50 000 денежных единиц на четыре ме­сяца поступила в банк, который начисляет 8 % учетной ставки. Определить дисконт.

Упражнение 23. Для того чтобы получить сумму 80 000 денежных единиц, сколько нужно попросить в банке для восьмимесячной ссуды, если банк начисляет 7 % учетной ставки?

Антисипативный способ

Антисипативная процентная ставка (учетная ставка или антисипативный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный интервал, к наращенной сумме, полученной в конце данного периода. При антисипативном способе наращенная сумма, полученная в конце периода, считается величиной получаемого кредита (ссуды), которую заемщик обязан вернуть. Получает он сумму, меньшую на величину процентного дохода кредитора. Таким образом, процентный доход (дисконт) начисляется сразу, т.е. остается у кредитора. Эта операция называется дисконтированием по учетной ставке, коммерческим (банковским) учетом.

Дисконт - доход, полученный по учетной ставке, как разница между величиной возвращаемого кредита и выданной суммой: D = F - Р.

Простые учетные ставки

Если ввести обозначения:

d, % - годовая учетная ставка процентов;

d - относительная величина годовой учетной ставки;

D - сумма процентных денег (дисконт), выплачиваемых за период (год);

D - общая сумма процентных денег (дисконт) за весь период начисления;

Р - величина выданной денежной суммы;

F - возвращенная сумма (величина ссуды);

k n - коэффициент наращения;

п - количество периодов начисления (лет);

d - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то антисипативная процентная ставка может быть выражена в виде

Тогда при

Тогда (6.20)

Пример. Ссуда выдается на 2 года по простой учетной ставке 10%. Сумма, получаемая заемщиком, Р = 4 5 000 руб. Определить возвращенную сумму и величину дисконта.

Дисконт: руб.

Отсюда обратная задача.

Пример. Ссуда выдается на 2 года по простой учетной ставке 10%. Рассчитайте сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если требуется возвратить 50 000 руб.

Дисконт: руб.

Если период начисления меньше года, то

Отсюда ,

Пример. Ссуда выдается на 182 дня обыкновенного года по простой учетной ставке 10%. Сумма, получаемая заемщиком, Р = 45 000 руб. Определите возвращенную сумму.

Сложные учетные ставки

Если возврат ссуды происходит через несколько периодов начисления, то вычисление дохода может производиться по методу сложных учетных ставок.

Если ввести обозначения:

d c , % - годовая учетная ставка;

d c - относительная величина годовой учетной ставки процентов;

f - номинальная учетная ставка сложных процентов, используемая при поинтервальном начислении дисконта, то при вычислении наращенной суммы но окончании первого периода наращенная сумма

По окончании второго периода

Через п лет наращенная сумма составит . (6.23)

Тогда коэффициент наращения . (6.24)

Пример. Ссуда выдается на 3 года по сложной учетной ставке 10%. Сумма, получаемая заемщиком, Р = 43 000 руб. Определите возвращенную сумму и величину дисконта.

п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить следующим образом:

(6.25)

где п = п ц + d/K - общее количество периодов (лег) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п ц D - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; d c - относительная величина годовой учетной процентной ставки.

Пример. Ссуда выдается на 3 года 25 дней по сложной учетной ставке 10%. Сумма, получаемая заемщиком, Р = 45 000 руб. Определите возвращаемую сумму и величину дисконта.

Величина дисконта D = F - Р = 62 151 - 45 000 = 17 151 руб.

Если учетная ставка в течение периодов n v ..., n N различна d 1 d 2 , ..., d N , то формула наращенной суммы принимает вид

Пример. Ссуда выдается по сложной учетной ставке 10,9,5,9%. Сумма, получаемая заемщиком, Р = 45 000 руб. Определите возвращенную сумму.

При начислении процентов в течение периода поинтервально m раз формула наращенной суммы

Пример. Сумма, получаемая заемщиком, 10 000 руб. выдается на 3 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определите возвращаемую сумму.

Если количество периодов начисления сложных процентов N не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

(6.28)

где п ц - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; т - количество интервалов начисления в периоде; Р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. Р<т; d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Ссуда выдается на 3 года 208 дней (183 + 25 дней) по сложной учетной ставке 10%. Выплата по полугодиям (т = 2). Сумма, получаемая заемщиком, Р = 45 000 руб. Определите возвращенную сумму и величину дисконта.

Кроме того, можно определить другие параметры:

(6.30)

Обратная задача:

Пример. Ссуда выдается на 3 года по сложной учетной ставке 10%. Сумма, которую необходимо возвратить, F= 45 000. Определите сумму, получаемую заемщиком.