Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1. Понятие систем массового обслуживания. Сущность смешанных СМО

1.1 Понятие систем массового обслуживания

1.2 Сущность смешанных систем массового обслуживания

2. Функционирование и критерии эффективности смешанных систем массового обслуживания

2.1 Функционирование смешанных систем массового обслуживания

2.2 Критерии эффективности смешанных систем массового обслуживания и их сравнение с другими СМО

3. Пример практического решения задачи с участием смешанных СМО

Заключение

Список литературы

Введение

За последние десятилетия в самых разных областях народного хозяйства возникла необходимость решения вероятностных задач, связанных с работой систем массового обслуживания. Примерами таких систем служат телефонные станции, ремонтные мастерские, торговые предприятия, билетные кассы и т.д. работа любой системы массового обслуживания состоит в обслуживании поступающего в нее потока требований (вызовы абонентов, приход покупателей в магазин, требования на выполнение работы в мастерской и т. д.). массовое обслуживание смешанн

Математическая дисциплина, изучающая модели реальных систем массового обслуживания, получила название теории массового обслуживания. Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что требование будет обслужено; математического ожидания числа обслуженных требований и т. д.) от входных показателей (количество приборов в системе, параметров входящего потока требований и т. д.) установить такие зависимости в формульном виде можно только для простых систем массового обслуживания. Изучение же реальных систем проводится путем имитации, или моделирования их работы на ЭВМ с привлечением метода статистических испытаний.

Целью работы является изучение смешанной системы массового обслуживания.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач:

1. Определить понятие систем массового обслуживания и сущность смешанных СМО.

2. Рассмотреть основы функционирования и критерии эффективности смешанных систем массового обслуживания.

3. С помощью примера описать функционирование смешанной СМО.

Структурно работа представлена введением, основной частью из трёх параграфов, заключением и списком литературы.

1 . Понятие систем массового обслуживания. Сущность смешанных СМО

1.1 Понятие систем массового обслуживания

Системами массового обслуживания называют такие системы, в которых в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание. При этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания .

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Первые задачи теории массового обслуживания были рассмотрены в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств .

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, случайные моменты времени.

Системы массового обслуживания или теория массового обслуживания - предмет, берущий начало в теории вероятностей. Но изучение таких систем в приложении к реальному миру (а их множество: магазин или вокзал с кассами, склад с операторами, парикмахерские и больницы, вычислительные сети, станки и наладчики, системы АТС и т.п.), обычно проходит в рамках предметов «Исследование операций» и «Математические методы в экономике» .

Задачи систем массового обслуживания имеют дело с объектами, где есть: а) очередь заявок (клиентов, звонков, посетителей, сигналов и т.п.) и б) ограниченное количество каналов для их обработки (операторов, кассиров, врачей, транзисторов и т.п.). Математически можно вычислить эффективность и основные показатели работ системы, что позволит в реальном мире наладить работу наиболее правильно, экономично, выгодно, удобно .

Системы массового обслуживания (СМО) «представляют собой системы специфического вида. Основой СМО является определенное число обслуживающих устройств -- каналы обслуживания. Роль каналов в реальности могут выполнять приборы, операторы, продавцы, линии связи и пр.» .

Предназначение СМО состоит в обслуживании потока заявок (требований), представляющих последовательность событий, поступающих нерегулярно и в заранее неизвестные и случайные моменты времени. Само обслуживание заявок также имеет непостоянный характер, происходит в случайные промежутки времени и зависит от многих и даже неизвестных причин. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обусловливает неравномерность загрузки СМО: на входе могут накапливаться необслуженные заявки (перегрузка СМО) либо заявок нет или их меньше, чем свободных каналов (недогрузка СМО). В СМО поступает поток заявок; часть из них принимается на обслуживание в каналы, часть ждет в очереди на обслуживание, часть покидает систему необслуженными.

Основными элементами СМО являются :

1 - входной поток заявок;

2 - очередь;

3 - каналы обслуживания;

4 - выходной поток заявок (обслуженные заявки).

По числу каналов n все СМО разделяются на одноканальные (n= 1) и многоканальные (n > 1).

Многоканальные СМО могут быть как однородными (по каналам), так и разнородными (по продолжительности обслуживания заявок).
По дисциплине обслуживания различаются три класса СМО.

1. СМО с отказами (нулевое ожидание или явные потери). «Отказная» заявка вновь поступает в систему, чтобы ее обслужили (например, вызов абонента через АТС).

2. СМО с ожиданием (неограниченное ожидание или очередь). При занятости всех каналов заявка поступает в очередь и в конце концов будет выполнена (торговля, сферы бытового и медицинского обслуживания).

3. СМО смешанного типа (ограниченное ожидание). Имеется ограничение на длину очереди (сервис по обслуживанию автомобилей). Другой вид ограниченного ожидания -- ограничение на время пребывания заявки в СМО (ПВО, особые условия обслуживания в банке) .

Целью теории систем массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы и регулированию потока заявок. Отсюда вытекают задачи, связанные с теорией массового обслуживания: установление зависимостей работы СМО от ее организации, характера потока заявок, числа каналов и их производительности, правил работы СМО.

Современная теория систем массового обслуживания является совокупностью аналитических методов исследования.

Каждая система массового обслуживания, в зависимости от числа каналов и их производительности, а также от характера потока заявок, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок. Предмет теории массового обслуживания - установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью (эффективностью) обслуживания.

1.2 Сущность смешанных систем массового обслуживания

Сложный характер рыночной экономики и современный уровень предъявляемых к ней требований стимулируют использование более серьезных методов анализа ее теоретических и практических проблем.

Математическое моделирование все более и более становится одним из основных и наиболее плодотворных методов изучения экономических процессов и объектов. Положительная оценка этого подтверждается и тем, что, начиная с 1969 г., Нобелевские премии в области экономики присуждаются, как правило, за экономико-математические исследования.

В борьбу за клиента в современной экономике вкладываются огромные средства. По оценкам западных экономистов, завоевание фирмой нового клиента обходится ей в 6 раз дороже, чем удержание существующих покупателей. А если клиент ушел неудовлетворенным, то на его возвращение приходится потратить в 25 раз больше средств .

Во многих случаях неудовлетворенность клиента вызвана неудачной организацией его обслуживания (слишком долгое ожидание в очереди, отказ в обслуживании и т.д.). Использование теории массового обслуживания позволяет фирме избежать подобных неприятностей.

Классическими системами, которые изучает теория массового обслуживания и для которых более разработан математический аппарат, являются системы с ожиданием и с отказом. Для таких систем типично следующее: требования, поступающие в систему на обслуживание, покидают ее только после обслуживания.

Однако, на практике часто встречаются системы массового обслуживания с ожиданием, в которых имеются различные ограничения, например, на время пребывания в очереди, на время пребывания требования в системе, на длину очереди. Возможны также различные комбинации подобных ограничений. Такие системы массового обслуживания называются смешанными системами с ожиданием .

В смешанных системах массового обслуживания требование, поступившее в систему на обслуживание и заставшее все приборы занятыми, может покинуть систему и не обслуженным.

Итак, СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием) - это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е. максимально возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди.

В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).

В СМО смешанного типа применяются различные схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным, при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом, когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По итогам первой главы работы можно сделать следующие выводы:

Основными элементами СМО являются: входной поток заявок; очередь; каналы обслуживания; выходной поток заявок (обслуженные заявки).

Эффективность функционирования СМО определяется ее пропускной способностью -- относительным числом обслуженных заявок.

На практике часто встречаются системы массового обслуживания с ожиданием, в которых имеются различные ограничения, например, на время пребывания в очереди, на время пребывания требования в системе, на длину очереди. Возможны также различные комбинации подобных ограничений. Такие системы массового обслуживания называются смешанными системами с ожиданием.

СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием) - это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

2 . Функционирование и критерии эффективности смешанных систем массового обслуживания

2.1 Функционирование смешанных систем массового обслуживания

Если имеется ограничение на длину очереди, выражающееся в том, что число требований, ожидающих начала обслуживания, не должно превышать m , то очередное требование, поступившее в систему на обслуживание в момент времени, когда все приборы заняты и m требований ожидают обслуживания, обязано покинуть систему, хотя оно и не обслужено. Такая ситуация возникает, например, в мастерских, предназначенных для ремонта каких-либо машин, с ограниченной площадью для их хранения.

Ограничение на время пребывания в очереди выражается в том, что время ожидания требованием начала обслуживания не должно превышать некоторой величины t ож, где t ож -- постоянная или случайная. Иначе говоря, если за время t ож с того момента, как требование стало в очередь, не освободится ни один из обслуживающих приборов, то требование покидает систему, хотя оно и не обслужено. Предполагается, что если процесс обслуживания уже начат, то он доводится до конца независимо от времени ожидания начала обслуживания .

В следующем параграфе функционирование смешанной системы массового обслуживания будет рассмотрен более подробно на основе критериев эффективности.

Доля затрат на оптимальный состав продукции в организации имеет также положительную динамику. По сравнению с экономической результативностью динамика этого показателя характеризуется более плавным ростом, но он также стабилен.

Результативность управленческой деятельности на предприятии - единственный показатель, имеющий само по себе очень маленькое значение, и к тому же, ещё и отрицательную динамику, которая является стабильной (снижение показателя постоянно, без периодов роста). Эта отрицательная динамика является позитивным явлением, поскольку рост дохода идёт более высокими темпами, чем рост численности аппарата управления.

Это условно-негативный момент, поскольку затраты могут расти за счёт добровольного намерения руководства более усиленно финансировать управление (положительный момент) либо они могут расти вынужденно (отрицательный момент). Если затраты на управление персоналом растут по вынужденным причинам, то необходимо обеспечить тесное взаимодействие уже не секторов, а целых отделов службы управления предприятием.

2.2 Критерии эффективности смешанных систем массового обслуживания и их сравнение с другими СМО

При решении задач, связанных с массовым обслуживанием, большое значение имеет правильный выбор критериев, определяющих изучаемый процесс. Одна и та же система обслуживания может характеризоваться с различных точек зрения различными критериями эффективности. Выбор того или иного критерия должен производиться в каждом конкретном случае исходя из тех задач, которые ставятся перед системой. Перечислить все критерии, которые могут или могли бы быть полезными во всех задачах массового обслуживания, затруднительно, поэтому ограничимся наиболее существенными и наиболее часто используемыми .

Критерии эффективности систем обслуживания с потерями :

1. Вероятность отказа равна вероятности того, что все обслуживающие аппараты окажутся занятыми. Вероятность отказа определяет, в какой степени данная система обслуживания способна удовлетворить поступающий поток требований. Этот критерий (вероятность отказа) не связан с качеством обслуживания внутри системы тех требований, которые были приняты на обслуживание. Он дает только внешнюю оценку способности системы приступить к обслуживанию поступившего требования.

2. Степень загрузки обслуживающей системы может характеризоваться таким критерием, как среднее число занятых аппаратов.

4. Может быть полезен такой критерий, как среднее количество потерянных требований за определенный промежуток времени.

Критерии эффективности систем обслуживания без потерь :

1. Длина очереди является случайной величиной. В качестве характеристики длины очереди можно использовать ее математическое ожидание. Перечень критериев:

2. Математическое ожидание длины очереди.

3. Время ожидания начала обслуживания.

4. Закон распределения начала обслуживания (закон распределения времени ожидания удается найти не всегда, в этих случаях приходится пользоваться более простыми критериями).

5. Средняя длина очереди, полная характеристика которой может быть задана законом распределения длины очереди.

6. Среднее число занятых обслуживающих аппаратов (это число - величина случайная).

7. Вероятность иметь более m единиц в очереди в момент при заданном начальном состоянии системы.

Критерии эффективности системы обслуживания смешанного типа.

Критерии, характеризующие протекание процесса обслуживания в системах смешанного типа, в основном совпадают с теми, которые были перечислены для задач первой и второй групп. Особые критерии для обслуживания систем смешанного типа таковы :

1. Время, затраченное на обслуживание тех требований, которые покинут систему до окончания обслуживания.

2. Суммарное время, затраченное всеми аппаратами системы.

Частные критерии в зависимости от специфики изучаемых конкретных процессов могут быть получены из этих основных с учетом особенностей каждого процесса.

По итогам второй главы работы можно сделать следующие выводы:

Процесс функционирования для смешанной системы массового обслуживания можно представить с помощью следующих элементов: поток заявок, поступающий в смешанную СМО на обслуживание; смешанная СМО с ожиданием; поток обслуженных требований; поток не обслуженных требований

Критерии, характеризующие протекание процесса обслуживания в системах смешанного типа, в основном совпадают с теми, которые характерны для СМО с потерями и без потерь. Кроме того, для СМО характерны и особые критерии эффективности

...

Подобные документы

Общие понятия теории массового обслуживания. Особенности моделирования систем массового обслуживания. Графы состояний СМО, уравнения, их описывающие. Общая характеристика разновидностей моделей. Анализ системы массового обслуживания супермаркета.

курсовая работа , добавлен 17.11.2009

Элементы теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания, их классификация. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Практическое применение теории, решение задачи математическими методами.

курсовая работа , добавлен 04.05.2011

Понятие случайного процесса. Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО). Вероятностная математическая модель. Влияние случайных факторов на поведение объекта. Одноканальная и многоканальная СМО с ожиданием.

курсовая работа , добавлен 25.09.2014

Моделирование процесса массового обслуживания. Разнотипные каналы массового обслуживания. Решение одноканальной модели массового обслуживания с отказами. Плотность распределения длительностей обслуживания. Определение абсолютной пропускной способности.

контрольная работа , добавлен 15.03.2016

Функциональные характеристики системы массового обслуживания в сфере автомобильного транспорта, ее структура и основные элементы. Количественные показатели качества функционирования системы массового обслуживания, порядок и главные этапы их определения.

лабораторная работа , добавлен 11.03.2011

Построение модели многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием, а также использованием блоков библиотеки SimEvents. Вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.

лабораторная работа , добавлен 20.05.2013

Решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта. Исследованы возможности применения имитационного моделирования для исследования систем массового обслуживания. Результаты моделирования базового варианта системы массового обслуживания.

лабораторная работа , добавлен 21.07.2012

Система массового обслуживания типа M/M/1, ее компоненты. Коэффициент использования обслуживающего устройства. Обозначение M/D/1 для системы массового обслуживания. Параметры и результаты моделирования систем. Среднее время ожидания заявки в очереди.

лабораторная работа , добавлен 19.05.2013

Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем, с конечным числом состояний и непрерывным временем и работа с ними. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания, их типы и отличия. Сущность метода Монте-Карло.

дипломная работа , добавлен 25.08.2009

Разработка теории динамического программирования, сетевого планирования и управления изготовлением продукта. Составляющие части теории игр в задачах моделирования экономических процессов. Элементы практического применения теории массового обслуживания.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Введение

Теория массового обслуживания является важным разделом системного анализа и исследования операций. Она богата разнообразными приложениями: от задач. связанных с эксплуатацией телефонных сетей, до научной организации производства. Эта теория используется там, где имеются вызовы и клиенты, сигналы и изделия массового производства, а также там, где изделия обслуживаются, обрабатываются, передаются.

Идеи и методы теории массового обслуживания (ТМО) получают всё большее распространение. Многие задачи техники, экономики, военного дела, естествознания могут быть поставлены и решены в терминах ТМО.

Своим возникновением ТМО обязана, в первую очередь, прикладным вопросам телефонии, в которых из-за большого числа независимых или слабо зависимых источников (абонентов телефонных станций) потоки заявок (вызовов) имеют четко выраженный случайный характер. Случайные колебания (флуктуации) около некоторого среднего являются в данном случае не результатом какого-то отклонения от нормы, а закономерностью, свойственной всему процессу. С другой стороны, стабильность работы телефонных станций, возможность получения хороших статистических данных создали предпосылки для выявления основных характеристик, свойственных данному процессу обслуживания.

Впервые на это обратил внимание и провёл исследования датчанин А.К. Эрланг. Основные его работы в данной области относятся к 1908 - 1921 годам. С этого времени, интерес к проблемам, выдвинутым Эрлангом, необычайно возрос. В 1927 - 1928 годах появляются работы Молина и Фрайя, позже в 1930 - 1932 годах - интересные работы Поллачека, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина.

Нужно сказать, что первые задачи ТМО были достаточно простыми и допускали получение окончательных аналитических зависимостей. О, развитие шло как по линии увеличения сферы приложения ТМО, так и по линии усложнения стоящих перед ней задач. Оказалось, что задачи типа телефонных, возникают в самых разнообразных направлениях исследований: в естествознании. в технике, на транспорте, в военном деле, в организации производства и т.д.

23. Системы массового обслуживания

Во многих областях практической деятельности человека мы сталкиваемся с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях в билетных кассах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешения на взлет или посадку, на телефонных станциях в ожидании освобождения линии абонента, в ремонтных цехах в ожидании ремонта станков и оборудования, на складах снабженческо-сбытовых организаций в ожидании разгрузки или погрузки транспортных средств. Во всех перечисленных случаях имеем дело с массовостью и обслуживанием. Изучением таких ситуаций занимается теория массового обслуживания.

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

23.1. Понятие смо

В теории систем массового обслуживания (СМО) обслуживаемый объект называют требованием. В общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение некоторой потребности, например, разговор с абонентом, посадка самолета, покупка билета, получение материалов на складе.

Средства, обслуживающие требования, называютсяобслуживающими устройствами иликаналами обслуживания . Например, к ним относятся каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Совокупность однотипных обслуживающих устройств называется системой массового обслуживания . Такими системами могут быть телефонные станции, аэродромы, билетные кассы, ремонтные мастерские, склады и базы снабженческо-сбытовых организаций и т.д.

Основной задачей теории СМО является изучение режима функционирования обслуживающей системы и исследование явлений, возникающих в процессе обслуживания. Так, одной из характеристик обслуживающей системы является время пребывания требования в очереди. Очевидно, что это время можно сократить за счет увеличения количества обслуживающих устройств. Однако каждое дополнительное устройство требует определенных материальных затрат, при этом увеличивается время бездействия обслуживающего устройства из-за отсутствия требований на обслуживание, что также является негативным явлением. Следовательно, в теории СМО возникают задачи оптимизации: каким образом достичь определенного уровня обслуживания (максимального сокращения очереди или потерь требований) при минимальных затратах, связанных с простоем обслуживающих устройств.

Источник. Источник определяется как устройство или множество, из которого требования поступают в систему для обслуживания. Источник называют бесконечным или конечным в зависимости от того, бесконечное или конечное число требований содержится в нем. Будем всегда предполагать, что источник, генерирующий требования, неисчерпаем. Например, хотя абонентов некоторого телефонного узла конечное число, предполагаем, что они образують бесконечный источник.

Входящий поток. Требования, поступающие из источника на обслуживание, образуют входящий поток. Само требование можно рассматривать как запрос на удовлетворение какой-то потребности. Примеров входящих потоков можно привести множество. Это - поток информации, поступающей на обработку в ЭВМ; поток заявок на АТС; поток клиентов, приходящих в ателье, и больных в поликлинику, поток прибывающих в порт судов; налетающие на объект удара самолеты и ракеты противника и т. д.

Обслуживающая система. Под обслуживающей системой понимают множество технических средств или производственного персонала (различного рода установки, приборы, устройства, тоннели, взлетно-посадочные полосы, линии связи, продавцы, бригады рабочих или служащих, кассиры и т. д.), выполняющих функции обслуживания. Все перечисленное выше, как уже говорилось, объединяется одним названием «канал обслуживания» (обслуживающий прибор). Состав системы определяется количеством каналов (приборов, линий). По количеству каналов системы можно подразделить на одноканальные и многоканальные.

Выходящий поток. Выходящий поток - это поток требований, покидающих систему после обслуживания. Сюда могут входить и требования, которые покинули систему, не пройдя обслуживания.

Входящий поток, функционирование обслуживающей системы как результат обслуживания, выходящий поток подлежат количественному описанию. Для того чтобы проводить математические исследование процесса массового обслуживания, необходимо полно определить систему обслуживания. Обычно это означает:

- задание входящего потока. Здесь имеются в виду как средняя интенсивность поступления требований, так и статистическая модель их поступления (т. е. закон распределения моментов поступления требований в систему);

- задание механизма обслуживания. Это означает указание того, когда обслуживание допустимо, сколько требований может обслуживаться одновременно и как долго длится обслуживание. Последнее свойство обычно характеризуют статистическим распределением длительности обслуживания (закон распределения времени обслуживания);

- задание дисциплины обслуживания. Это означает указание способа, по которому происходит отбор одного требования из очереди (если она есть) на обслуживание. В простейшем варианте дисциплина обслуживания заключается в обслуживании требований в порядке их поступления (справедливый принцип), однако существует и много других возможностей.

Задание системы предполагает также известное описание взаимодействия между отдельными ее частями.

Когда система достаточно полно определена, появляется основание для построения математической модели. Если математическая модель более или менее адекватно отображает реальную систему, то она позволяет получить основные характеристики функционирования системы. Разумеется, модель значительно упрощает практическую ситуацию, но это не умаляет математических методов теории массового обслуживания и положение дел не отличается от положения дел в других областях прикладной математики.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1.1 Общие понятие теории массового обслуживания

1.2 Моделирование систем массового обслуживания

1.3 Графы состояний СМО

1.4 Случайные процессы

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

2.1 Уравнения Колмогорова

2.2 Процессы «рождения – гибели»

2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Глава III. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов

3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью

3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение

В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.

Глава I . Постановка задач массового обслуживание

1.1 Общие понятие теории массового обслуживания

Природа массового обслуживания, в различных сферах, весьма тонка и сложна. Коммерческая деятельность связана с выполнением множества операций на этапах движения, например товарной массы из сферы производства в сферу потребления. Такими операциями являются погрузка товаров, перевозка, разгрузка, хранение, обработка, фасовка, реализация. Кроме таких основных операций процесс движения товаров сопровождается большим количеством предварительных, подготовительных, сопутствующих, параллельных и последующих операций с платежными документами, тарой, деньгами, автомашинами, клиентами и т.п.

Для перечисленных фрагментов коммерческой деятельности характерны массовость поступления товаров, денег, посетителей в случайные моменты времени, затем их последовательное обслуживание (удовлетворение требований, запросов, заявок) путем выполнения соответствующих операций, время выполнения которых носит также случайный характер. Все это создает неравномерность в работе, порождает недогрузки, простой и перегрузки в коммерческих операциях. Много неприятностей доставляют очереди, например, посетителей в кафе, столовых, ресторанах, или водителей автомобилей на товарных базах, ожидающих разгрузки, погрузки или оформления документов. В связи с этим возникают задачи анализа существующих вариантов выполнения всей совокупности операций, например, торгового зала супермаркета, ресторана или в цехах производства собственной продукции для целей оценки их работы, выявления слабых звеньев и резервов для разработки в конечном итоге рекомендаций, направленных на увеличение эффективности коммерческой деятельности.

Кроме того, возникают другие задачи, связанные с созданием, организацией и планированием нового экономичного, рационального варианта выполнения множества операций в пределах торгового зала, кондитерского цеха, всех звеньев обслуживания ресторана, кафе, столовой, планового отдела, бухгалтерии, отдела кадров и др.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, например обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслуживание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслуживания, обеспечение телефонных разговоров на телефонной станции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а операции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, называемыми каналами (узлами) обслуживания. Роль заявок в коммерческой деятельности выполняют товары, посетители, деньги, ревизоры, документы, а роль каналов обслуживания - продавцы, администраторы, повара, кондитеры, официанты, кассиры, товароведы, грузчики, торговое оборудование и др. Важно заметить, что в одном варианте, например, повар в процессе приготовления блюд является каналом обслуживания, а в другом - выступает в роли заявки на обслуживание, например к заведующему производством за получением товара.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание образуют потоки, которые до выполнения операций обслуживания называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки обслуживания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока заявок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока заявок образует простейшую одноканальную систему массового обслуживания - СМО.

Под системой понимается совокупность взаимосвязанных и. целенаправленно взаимодействующих частей (элементов). Примерами таких простейших СМО в коммерческой деятельности являются места приема и обработки товаров, узлы расчета с покупателями в магазинах, кафе, столовых, рабочие места экономист та, бухгалтера, коммерсанта, повара на раздаче и т.д.

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заявка на обслуживание покидает систему. Продолжительность интервала времени, требуемого для реализации процедуры обслуживания, зависит в основном от характера запроса заявки на обслуживание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой - от формы организации обслуживания и обслуживающего персонала, что может значительно повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания. Например, овладение кассирами-контролерами работы «слепым» методом на кассовом аппарате позволило увеличить пропускную способность узлов расчета в 1,3 раза и сэкономить время, затрачиваемое на расчеты с покупателями по каждой кассе более чем на 1,5 ч в день. Внедрение единого узла расчета в супермаркете дает ощутимые преимущества покупателю. Так, если при традиционной форме расчетов время обслуживания одного покупателя составляло в среднем 1,5 мин, то при введении единого узла расчета - 67 с. Из них 44 с уходят на оформление покупки в секции и 23 с непосредственно на расчеты за покупки. Если покупатель делает несколько покупок в разных секциях, то потери времени сокращаются при приобретении двух покупок в 1,4 раза, трех - в 1,9, пяти - в 2,9 раза.

Под обслуживанием заявок будем понимать процесс удовлетворения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако, во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства. В некоторых случаях обслуживание производится одним человеком (обслуживание покупателя одним продавцом, в некоторых - группой людей (обслуживание больного врачебной комиссией в поликлинике), а в некоторых случаях - техническими устройствами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами). Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одинаковые заявки, то каналы обслуживания называются однородными. Совокупность однородных каналов обслуживания называется обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое количество заявок в случайные моменты времени, длительность обслуживания которых также является случайной величиной. Последовательное поступление заявок в систему обслуживания называется входящим потоком заявок, а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания,- выходящим потоком.

Случайный характер распределения длительности выполнения операций обслуживания наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который "может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания.

Заметим, что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением процессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой методов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслуживания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания требование может быть обслужено любым свободным каналом. Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслуживания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществляется последовательно несколькими каналами обслуживания. При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер, обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания. Например, если в магазине самообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли человека. Под качеством функционирования системы в теории массового обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполнено обслуживание, а то, насколько полно загружена система обслуживания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь.

В коммерческой деятельности заявки, поступающие в систему массового обслуживания, выступают с высокими претензиями еще и на качество обслуживания в целом, которое включает не только перечень характеристик, исторически сложившихся и рассматриваемых непосредственно в теории массового обслуживания, но и дополнительные характерные для специфики коммерческой деятельности, в частности отдельных процедур обслуживания, требования, к уровню которых к настоящему времени сильно возросли. В связи с этим необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

Работу системы обслуживания характеризуют такие показатели. Как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в конечном итоге удовлетворение качеством обслуживания, которое еще включает показатели коммерческой деятельности. Чтобы улучшить качество функционирования системы обслуживания, необходимо определить, каким образом распределить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как расположить или сгруппировать каналы обслуживания или обслуживающие аппараты для улучшения показателей коммерческой деятельности. Для решения перечисленных задач существует эффективный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

1.2 Моделирование систем массового обслуживания

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий - поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, формирует так называемый поток событий. Примерами таких потоков в коммерческой деятельности являются потоки различной природы - товаров, денег, документов, транспорта, клиентов, покупателей, телефонных звонков, переговоров. Поведение системы обычно определяется не одним, а сразу несколькими потоками событий. Например, обслуживание покупателей в магазине определяется потоком покупателей и потоком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной чертой потоков является вероятностное распределение времени между соседними событиями. Существуют различные потоки, которые отличаются своими характеристиками.

Поток событий называется регулярным, если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегулярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени. Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик, в частности, интенсивность такого потока есть среднее число событий в единицу времени и остается величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

Поток событий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой. В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждого из них, не связаны с аналогичными причинами для других покупателей.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два или более разу. Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком событий. Математическое описание воздействия такого потока на системы оказывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.

Рассмотрим на оси времени некоторый промежуток времени t. Допустим, вероятность попадания случайного события на этот промежуток p, а полное число возможных событий - п. При наличии свойства ординарности потока событий вероятность р должна быть достаточно малой величиной, а я - достаточно большим числом, поскольку рассматриваются массовые явления. В этих условиях для вычисления вероятности попадания на промежуток времени t некоторого числа событий т можно воспользоваться формулой Пуассона:

P m, n = a m _e -a ; (m=0,n),

где величина а = пр - среднее число событий, попадающих на промежуток времени t, которое можно определить через интенсивность потока событий Xследующим образом: a= λ τ

Размерность интенсивности потока X есть среднее число событий в единицу времени. Между п и λ, р и τ имеется следующая связь:

где t- весь промежуток времени, на котором рассматривается действие потока событий.

Необходимо определить распределение интервала времени Т между событиями в таком потоке. Поскольку это случайная величина, найдем ее функцию распределения. Как известно из теории вероятностей, интегральная функция распределения F(t) есть вероятность того, что величина T будет меньше времени t.

По условию в течение времени T не должно произойти ни одного события, а на интервале времени t должно появиться хотя бы одно событие. Эта вероятность вычисляется с помощью вероятности противоположного события на промежутке времени (0; t), куда не попало ни одного события, т.е. m= 0, тогда

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

Для малых ∆tможно получить приближенную формулу, получаемую заменой функции e - Xt , только двумя членами разложения в ряд по степеням ∆t, тогда вероятность попадания на малый промежуток времени ∆t хотя бы одного события составляет

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями получим, продифференцировав F(t) по времени,

f(t)= λe- λ t ,t≥0

Пользуясь полученной функцией плотности распределения, можно получить числовые характеристики случайной величины Т: математическое ожидание М (Т), дисперсию D(T) и среднее квадратическое отклонение σ(Т).

М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/ λ 2 ; σ(T)=1/ λ .

Отсюда можно сделать следующий вывод: средний интервал времени Т между любыми двумя соседними событиями в простейшем потоке в среднем равен 1/λ , и его среднее квадратическое отклонение также равно 1/λ, λ где, - интенсивность потока, т.е. среднее число событий, происходящих в единицу времени. Закон распределения случайной величины, обладающей такими свойствами М(Т) = Т, называется показательным (или экспоненциальным), а величина λ, является параметром этого показательного закона. Таким образом, для простейшего потока математическое ожидание интервала времени между соседними событиями равно его среднеквадратическому отклонению. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за промежуток времени t, равно к, определяется по закону Пуассона:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t ,

где λ - интенсивность поступления потока заявок, среднее число событий в СМО за единицу времени, например[чел/мин; руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год] .

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками Т распределено экспоненциально с плотностью вероятности:

ƒ(t)= λe - λ t .

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания t оч тоже можно считать распределенным экспоненциально:

ƒ (t оч)=V*e - v t оч,

где v - интенсивность потока прохода очереди, определяемая средним числом заявок, проходящих на обслуживание в единицу времени:

где Т оч - среднее время ожидания обслуживания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания t обс является тоже случайной величиной и подчиняется во многих случаях показательному закону распределения с плотностью вероятности:

ƒ(t обс)=µ*е µ t обс,

где µ - интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

µ=1/ t обс [чел/мин; руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год] ,

где t обс - среднее время обслуживания заявок.

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели λи µ , является интенсивность нагрузки: ρ= λ/ µ, которая показывает степень согласования входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходится пользоваться понятиями потоков других типов. Поток событий называется потоком Пальма, когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T 1 , T 2 , ..., Т k ..., Т n являются независимыми, одинаково распределенными, случайными величинами, нов отличие от простейшего потока не обязательно распределенными по показательному закону. Простейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так называемый поток Эрланга.

Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока.

Например, условившись учитывать только каждое второе событие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д.

Можно получить потоки Эрланга любого к-го порядка. Очевидно, простейший поток есть поток Эрланга первого порядка.

Любое исследование системы массового обслуживания начинается с изучения того, что необходимо обслуживать, следовательно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

Поскольку моменты времени tи интервалы времени поступления заявок τ, затем продолжительность операций обслуживания t обс и время ожидания в очереди t оч, а также длина очереди l оч - случайные величины, то, следовательно, характеристики состояния СМО носят вероятностный характер, а для их описания следует применять методы и модели теории массового обслуживания.

Перечисленные выше характеристики к, τ, λ, L оч, Т оч, v, t обс, µ, р, Р k являются наиболее общими для СМО, которые являются обычно лишь некоторой частью целевой функции, поскольку необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

1.3 Графы состояний СМО

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем удобно пользоваться вариантом схематичного изображения возможных состояний СMO (рис. 6.2.1) в виде графа с разметкой его возможных фиксированных состояний. Состояния СМО изображаются обычно либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния. Например, размеченный граф состояний одноканальной системы случайного процесса обслуживания в газетном киоске приведен на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Размеченный граф состояний СМО

Система может находиться в одном из трех состояний: S 0 -канал свободен, простаивает, S 1 - канал занят обслуживанием, S 2 - канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди. Переход системы из состояния S 0 в S l происходит под воздействием простейшего потока заявок интенсивностью λ 01 а из состояния S l в состояние S 0 систему переводит поток обслуживания с интенсивностью λ 01 . Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность:p i (t) того, что система будет находиться в состоянии S i в момент времени t, называется вероятностью i-го состояния СМО и определяется числом поступивших заявок k на обслуживание.

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что в случайные моменты времени t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n система оказывается в том или другом заранее известном дискретном состоянии последовательно. Такая. случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния S t в любое другое Sjне зависит от того, когда и как система перешла в состояние S t . Описывается марковская цепь с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна единице. Если вероятность перехода не зависит от номера к, то марковская цепь называется однородной. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятности состояний для любого значения к-числа заявок поступивших на обслуживание.

1.4 Случайные процессы

Переход СМО из одного состояния в другое происходит случайным образом и представляет собой случайный процесс. Работа СМО - случайный процесс с дискретными состояниями, поскольку его возможные состояния во времени можно заранее перечислить. Причем переход из одного состояния в другое, происходит скачкообразно, в случайные моменты времени, по этому он называется процессом с непрерывным временем. Таким образом, работа СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным; временем. Например, в процессе обслуживания оптовых покупателей на фирме «Кристалл» в Москве можно фиксировать заранее все возможные состояния простейших. СМО, которые входят в весь цикл, коммерческого обслуживания от момента заключения договора на поставку ликероводочной продукции, ее оплаты, оформления документов, отпуска и получения продукции, догрузки и вывоза со склада готовой продукции.

Из множества разновидностей случайных процессов наибольшее распространение в коммерческой деятельности получили такие процессы, для которых в любой момент времени характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в настоящий момент и не зависят от предыстории - от прошлого. Например, возможность получения с завода «Кристалл» ликероводочной продукции зависит от наличия ее на складе готовой продукции, т.е. его состояния в данный момент, и не зависит от того, когда и как получали и увозили в прошлом эту продукцию другие покупатели.

Такие случайные процессы называются процессами без последствия, или марковскими, в которых при фиксированном настоящем будущее состояние СМО не зависит от прошлого. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским случайным процессом, или «процессом без последствия», если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t 0 вероятность любого состояния t > t 0 системы S i , - в будущем (t>t Q) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t 0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние, т.е. оттого, как развивался процесс в прошлом.

Марковские случайные процессы делятся на два класса: процессы с дискретными и непрерывными состояниями. Процесс с дискретными состояниями возникает в сиcтемах, обладающих только некоторыми фиксированными состояниями, между которыми возможны скачкообразные переходы в некоторые, заранее не известные моменты времени. Рассмотрим пример процесса с дискретными состояниями. В офисе фирмы имеются два телефона. Возможны следующие состояния у этой системы обслуживания: S o -телефоны свободны; S l - один из телефонов занят; S 2 - оба телефона заняты.

Процесс, протекающий в этой системе, состоит в том, что система случайным образом переходит скачком из одного дискретного состояния в другое.

Процессы с непрерывными состояниями отличаются непрерывным плавным переходом из одного состояния в другое. Эти процессы более характерны для технических устройств, нежели для экономических объектов, где обычно лишь приближенно можно говорить о непрерывности процесса (например, непрерывном расходовании запаса товара), тогда как фактически всегда процесс имеет дискретный характер. Поэтому далее мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Марковские случайные процессы с дискретными состояниями в свою очередь подразделяются на процессы с дискретным временем и процессы с непрерывным временем. В первом случае переходы из одного состояния в другое происходят только в определенные, заранее фиксированные моменты времени, тогда как в промежутки между этими моментами система сохраняет свое состояние. Во втором случае переход системы из состояния в состояние может происходить в любой случайный момент времени.

На практике процессы с непрерывным временем встречаются значительно чаще, поскольку переходы системы из одного состояния в другое обычно происходят не в какие-то фиксированные моменты времени, а в любые случайные моменты времени.

Для описания процессов с непрерывным временем используется модель в виде так называемой марковской цепи с дискретными состояниями системы, или непрерывной марковской цепью.

Глава II . Уравнения описывающие системы массового обслуживания

2.1 Уравнения Колмогорова

Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы S o , S l , S 2 (см. рис. 6.2.1) и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния S i в состояние Sjпроисходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λ ij , а обратный переход под воздействием другого потока λ ij ,. Введем обозначение p i как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S i . Для любого момента времени tсправедливо записать нормировочное условие-сумма вероятностей всех состояний равна 1:

Σp i (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1

Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени Δt, и найдем вероятность р 1 (t+ Δt) того, что система в момент времени (t+ Δt) будет находиться в состоянии S 1 которое достигается разными вариантами:

а) система в момент t с вероятностью p 1 (t) находилась в состоянии S 1 и за малое приращение времени Δt так и не перешла в другое соседнее состояние - ни в S 0 , ни bS 2 . Вывести систему из состояния S 1 можно суммарным простейшим потоком c интенсивностью (λ 10 +λ 12), поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S 1 за малый промежуток времени Δtприближенно равна (λ 10 +λ 12)* Δt. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна .Bсоответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии Siна основании теоремы умножения вероятностей, равна:

p 1 (t) ;

б)система находилась в соседнем состоянии S o и за малое время Δt перешла в состояние S o Переход системы происходит под воздействием потока λ 01 с вероятностью, приближенно равной λ 01 Δt

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S 1 , в этом варианте равна p o (t)λ 01 Δt;

в) система находилась в состоянии S 2 и за время Δt перешла в состояние S 1 под воздействием потока интенсивностью λ 21 с вероятностью, приближенно равной λ 21 Δt. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S 1 , равна p 2 (t) λ 21 Δt.

Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt ,

которое можно записать иначе:

p 2 (t+Δt)-p 1 (t)/ Δt= p o (t)λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 +λ 12) .

Переходя к пределу при Δt-> 0, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

что является дифференциальным уравнением.

Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:

dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21 .

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО S i в функции времени p i (t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S 0 – равна p 0 = 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии S o . Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р 0 = 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии S o и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность р i рассматриваемого состояния Siумноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки) изданного состояния S i систему, а справа от знака равенства - сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние Siсистему, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системы необходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие, поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна 1: n

Например, для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний S o , S 1 , S 2 рис. 6.2.1, система уравнений Колмогорова, составленная на основе изложенного правила, имеет следующий вид:

Для состояния S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

Для состояния S 1 →p 1 (λ 10 +λ 12) = p 0 λ 01 +p 2 λ 21

Для состояния S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p 0 +p 1 +p 2 =1

dp 4 (t)/dt=λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t) ,

p 1 (t)+ p 2 (t)+ p 3 (t)+ p 4 (t)=1 .

К этим уравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система S находится в состоянии S 1, то начальные условия можно записать так:

p 1 (0)=1, p 2 (0)= p 3 (0)= p 4 (0)=0 .

Переходы между состояниями СМО происходит под воздействием поступления заявок и их обслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший, определяется вероятностью появления события в течение времени Δt, т.е. величиной элемента вероятности перехода λ ij Δt, где λ ij - интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния i в состояние i (по соответствующей стрелке на графе состояний).

Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е. процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто, определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий. Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим все вероятности состояний как функции времени:

p i (t), p 2 (t),…., p n (t) .

Во многих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний как функции времени ведут себя таким образом, что существует

lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n) ; t→∞

независимо от вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельные вероятности состояний системы при t->∞ и в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои, состояния, но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.

Вычислить предельные вероятности состояния р i можно, если в системе положить все производные равными 0, поскольку в уравнениях Колмогорова при t-> ∞ зависимость от времени пропадает. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему Обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.

2.2 Процессы «рождения – гибели»

Среди однородных марковских процессов существует класс случайных процессов, имеющих широкое применение при построении математических моделей в областях демографии, биологии, медицины (эпидемиологии), экономики, коммерческой деятельности. Это так называемые процессы «рождения - гибели», марковские процессы со стохастическими графами состояний следующего вида:

S 3

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Рис. 2.1 Размеченный граф процесса «рождения - гибели»

Этот граф воспроизводит известную биологическую интерпретацию: величина λ k отображает интенсивность рождения нового представителя некоторой популяции, например, кроликов, причем текущий объем популяции равен k; величина μ является интенсивностью гибели (продажи) одного представителя этой популяции, если текущий объем популяции равен k. В частности, популяция может быть неограниченной (число n состояний марковского процесса является бесконечным, но счетным), интенсивность λ может быть равна нулю (популяция без возможности возрождения), например, при прекращении воспроизводства кроликов.

Для Марковского процесса «рождения - гибели», описанного стохастическим графом, приведенным на рис. 2.1, найдем финальное распределение. Пользуясь правилами составления уравнений для конечнего числа n предельных вероятностей состояния системы S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n , составим соответствующие уравнения для каждого состояния:

для состояния S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;

для состояния S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , которое с учетом предыдущего уравнения для состояния S 0 можно преобразовать к виду λ 1 р 1 = μ 1 p 2 .

Аналогично можно составить уравнения для остальных состояний системы S 2 , S 3 ,…, S k ,…, S n . В результате получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:

Следует заметить, что в формулы определения финальных вероятностей состояний р 1 , р 2 , р 3 ,…, р n , входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей р 0 . В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок графа состояний, ведущих слева на право до рассматриваемого состояния S k , а знаменатели представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа на лево до рассматриваемого состояния S k , т.е. μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 ,… μ k . В связи с этим запишем эти модели в более компактном виде:

к=1,n

2.3 Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания

Правильная или наиболее удачная экономико-математическая постановка задачи в значительной степени определяет полезность рекомендаций по совершенствованию систем массового обслуживания в коммерческой деятельности.

В связи с этим необходимо тщательно проводить наблюдение за процессом в системе, поиска и выявления существенных связей, формирования проблемы, выделения цели, определения показателей и выделения экономических критериев оценки работы СМО. В этом случае в качестве наиболее общего, интегрального показателя могут выступать затраты, с одной стороны, СМО коммерческой деятельности как обслуживающей системы, а с другой – затраты заявок, которые могут иметь разную по своему физическому содержанию природу.

Повышение эффективности в любой сфере деятельности К. Маркс в конечном счете рассматривал как экономию времени и усматривал в этом один из важнейших экономических законов. Он писал, что экономия времени, равно как и планомерное распределение рабочего времени по различным отраслям производства, остается первым экономическим законом на основе коллективного производства. Этот закон проявляется во всех сферах общественной деятельности.

Для товаров, в том числе и денежных средств, поступающих в коммерческую сферу, критерий эффективности связан со временем и скоростью обращения товаров и определяет интенсивность поступления денежных средств в банк. Время и скорость обращения, являясь экономическими показателями коммерческой деятельности, характеризирует эффективность использования средств, вложенных в товарные запасы. Товарооборачиваемость отражает среднюю скорость реализации среднего товарного запаса. Показатели товарооборачиваемости и уровня запасов тесно связаны известным моделями. Таким образом, можно проследить и установить взаимосвязь этих и других показателей коммерческой деятельности с временными характеристиками.

Следовательно, эффективность работы коммерческого предприятия или организации складывается из совокупности времени выполнения отдельных операций обслуживания, в то же время для населения затраты времени включают время на дорогу, посещение магазина, столовой, кафе, ресторана, ожидание начало обслуживания, ознакомление с меню, выбор продукции, расчет и т.д. Проведенные исследования структуры затрат времени населения свидетельствует о том, что значительная его часть расходуется нерационально. Заметим, что коммерческая деятельность в конечном счете направлена на удовлетворение потребности человека. Поэтому усилия моделирования СМО должны включать анализ затрат времени по каждой элементарной операции обслуживания. С помощью соответствующих методов следует создавать модели связи показателей СМО. Это обусловливает необходимость наиболее общие и известные экономические показатели, такие как товарооборот, прибыль, издержки обращения, рентабельность и другие, увязывать в экономико-математических моделях с дополнительно возникающей группой показателей, определяемых спецификой обслуживающих систем и вносимых собственно спецификой теории массового обслуживания.

Например, особенностями показателей СМО с отказами являются: время ожидания заявок в очереди Т оч =0, поскольку по своей природе в таких системах существование очереди невозможно, то L оч =0 и, следовательно, вероятность ее образования Р оч =0. По числу заявок k определятся режим работы системы, ее состояние: при k=0 – простой каналов, при 1n – обслуживание и отказ. Показателями таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р отк, вероятность обслуживания Р обс, среднее время простоя канала t пр, среднее число занятых n з и свободных каналов n св, среднее обслуживания t обс, абсолютная пропускная способность А.

Для СМО с неограниченным ожиданием характерно, что вероятность обслуживания заявки Р обс =1, поскольку длина очереди и время ожидания начала обслуживания не ограничены, т.е. формально L оч →∞ и Т оч →∞. В системах возможны следующие режимы работы: при k=0 наблюдается простой каналов обслуживания, при 1n – обслуживание и очередь. Показателями таких эффективности таких СМО являются среднее число заявок в очереди L оч, среднее число заявок в системе k, среднее время пребывания заявки в системе Т смо, абсолютная пропускная способность А.

В СМО с ожиданием с ограничением на длину очереди, если число заявок в системе k=0, то наблюдается простой каналов, при 1n+m- обслуживание, очередь и отказ в ожидании обслуживания. Показателями эффективности таких СМО являются вероятность отказа в обслуживании Р отк - вероятность обслуживания Р обс, среднее число заявок в очереди L оч, среднее число заявок в системе L смо среднее время пребывания заявки в системе Т смо, абсолютная пропускная способность А.

Таким образом, перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом: среднее время обслуживания – t обс; среднее время ожидания в очереди – Т оч; среднее пребывания В СМО – Т смо; средняя длина очереди - L оч; среднее число заявок в СМО- L смо; количество каналов обслуживания – n; интенсивность входного потока заявок – λ; интенсивность обслуживания – μ; интенсивность нагрузки – ρ; коэффициент нагрузки – α; относительная пропускная способность – Q; абсалютная пропускная способность – А; доля времени простоя в СМО – Р 0 ; доля обслуженных заявок – Р обс; доля потерянных заявок – Р отк, среднее число занятых каналов – n з; среднее число свободных каналов - n св; коэффициент загрузки каналов – К з; среднее время простоя каналов - t пр.

Следует заметить что, иногда достаточно использовать до десяти основных показателей, чтобы выявить слабые места и разработать рекомендации по совершенствованию СМО.

Это часто связано с решением вопросов согласованной рабоиы цепочки или совокупностей СМО.

Например, в коммерческой деятельности необходимо учитывать еще и экономические показатели СМО: общие затраты – С; издержки обращения – С ио, издержки потребления – С ип, затраты на обслуживание одной заявки – С 1 , убытки, связанные с уходом заявки, - С у1 , затраты на эксплуатацию канала – С к, затраты простоя канала – С пр, капитальные вложения – С кап, приведенные годовые затраты – С пр, текущие затраты – С тек, доход СМО в единицу времени – Д 1

В процессе постановки задач необходимо раскрыть взаимосвязи показателей СМО, которые по своей базовой принадлежности можно разделить на две группы: первая связана с издержками обращения С ио, которые определяются числом занятых обслуживанием каналов, затратами на содержание СМО, интенсивностью обслуживания, степенью загрузки каналов, эффективностью их использования, пропускной способностью СМО и др.; вторая группа показателей определяется издержками собственно заявок С ип, поступающих на обслуживание, которые образуют входящий поток, ощущают эффективность обслуживания и связаны с такими показателями, как длина очереди, время ожидания обслуживания, вероятность отказа в обслуживании, время пребывания заявки в СМО и др.

Эти группы показателей противоречивы в том смысле, что улучшение показателей одной группы, например, сокращение длины очереди или времени ожидания в очереди путем увлечения числа каналов обслуживания (официантов, поваров, грузчиков, кассиров), связано с ухудшением показателей группы, поскольку это может привести к увеличению времени простоев каналов обслуживания, затрат на их содержание и т.д. В связи с этим формализации задач обслуживания вполне естественно стремление построить СМО таким образом, чтобы установить разумный компромисс между показателями собственно заявок и полнотой использования возможностей системы. С этой целью необходимо выбрать обобщенный, интегральный показатель эффективности СМО, включающий одновременно претензии и возможности обеих групп. В качестве такого показателя может быть выбран критерий экономической эффективности, включающий как издержки обращения С ио, так и издержки заявок С ип, которые будут иметь оптимальное значение при минимуме общих затрат С. На этом осонвании целевую функцию задачи можно записать так:

С= (С ио +С ип) →min

Поскольку издержки обращения включают затраты, связанные с эксплуатацией СМО – С экс и простоем каналов обслуживания - С пр, а издержки заявок включают потери, связанные с уходом не обслуженных заявок – С нз, и с пребыванием в очереди – С оч, тогда целевую функцию можно переписать с учетом этих показателей таким образом:

С={(С пр n св +С экз n з)+С оч Р обс λ(Т оч +t обс)+С из Р отк λ}→min.

В зависимости от поставленной задачи в качестве варьируемых, т.е управляемых, показателей могут быть: количество каналов обслуживания, организация каналов обслуживания (параллельно, последовательно, смешанным образом), дисциплина очереди, приоритетность обслуживания заявок, взаимопомощь между каналами и др. Часть показателей в задаче фигурирует в качестве неуправляемых, которые обычно являются исходными данными. В качестве критерия эффективности в целевой функции могут быть так же товарооборот, прибыль, или доход, например, рентабельность, тогда оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся очевидно, уже при максимизации, как в предыдущем варианте.

В некоторых случаях следует пользоваться другим вариантом записи целевой функции:

С={С экз n з +C пр (n-n з)+C отк *Р отк *λ+С сист * n з }→min

В качестве общего критерия может быть выбран, например, уровень культуры обслуживания покупателей на предприятиях, тогда целевая функция может быть представлена следующей моделью:

К об =[(З пу *К у)+(З пв *К в)+(З пд *К д)+(З пз *К з)+(З по *К 0)+(З кт *К кт)]*К мп,

где З пу – значимость показателя устойчивости ассортимента товаров;

К у - коэффициент устойчивости ассортимента товаров;

З пв – значимость показателя внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

К в – коэффициент внедрения прогрессивных методов продажи товаров;

З пд – значимость показателя дополнительного обслуживания;

К д - коэффициент дополнительного обслуживания;

З пз - значимость показателя завершенности покупки;

К з - коэффициент завершенности покупки;

З по - значимость показателя затрат времени на ожидание в обслуживании;

К о – показатель затрат времени на ожидание обслуживания;

З кт – значимость показателя качества труда коллектива;

К кт – коэффициент качества труда коллектива;

К мп – показатель культуры обслуживания по мнению покупателей;

Для анализа СМО можно выбирать и другие критерии оценки эффективности работы СМО. Например, в качестве такого критерия для систем с отказами можно выбирать вероятность отказа Р отк, значение которого не превышало бы заранее заданной величины. Например, требование Р отк <0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

После построения целевой функции необходимо определить условия решения задачи, найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели, построить или подобрать совокупность моделей взаимосвязи всех показателей для анализируемого типа СМО, чтобы в конечном итоге найти оптимальные значения управляемых показателей, например количество поваров, официантов, кассиров, грузчиков, объемы складских помещений и др

Глава III . Модели систем массового обслуживания

3.1 Одноканальная СМО с отказами в обслуживании

Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью μ.

Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (3.1).

Переходы СМО из одного состояния S 0 в другое S 1 происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратный переход – под действием потока обслуживания с интенсивностью μ.

S 0

S 1

S 0 – канал обслуживания свободен; S 1 – канал занят обслуживанием;

Рис. 3.1 Размеченный граф состояний одноканальной СМО

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности р 0 (t) состояния S 0:

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S 0 , тогда р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.

В этом случае решение дифференциального уровнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

Тогда нетрудно получить выражение для вероятности определения вероятности занятости канала:

Вероятность р 0 (t) уменьшается с течением времени и в пределе при t→∞ стремится к величине

а вероятность р 1 (t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t→∞ к величине

Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

Функции р 0 (t) и р 1 (t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени характерной для рассматриваемой системы.

С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3τ.

Вероятность р 0 (t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.

Действительно, р 0 (t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из них обслуживается λр 0 заявок.

Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной

В пределе при t→∞ практически уже при t>3τ значение относительной пропускной способности будет равно

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t→∞, равна:

Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

а общее число не обслуженных заявок равно

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

3.2 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

В коммерческой деятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданных автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

Туристические фирмы по продаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании на рис. 3.2, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ.

S 0

S 1

S k

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Рис. 3.2. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами

Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния S k , представленные в виде размеченного графа:

S 0 – все каналы свободны k=0,

S 1 – занят только один канал, k=1,

S 2 – заняты только два канала, k=2,

S k – заняты k каналов,

S n – заняты все n каналов, k= n.

Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S 0 в S 1 , происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния S k в S k -1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий, переводящий систему из S n в S n -1 , имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателя теории массового обслуживания.

Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения- гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

Вычислив все вероятности состояний n – канальной СМО с отказами р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,…, р n , можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии S n:

k=n.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому

Р отк +Р обс =1

На этом основании относительная пропускная способность опредляется по формуле

Q = P обс = 1-Р отк =1-Р n

Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

Из этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что же самое, среднее число занятых обслуживанием каналов

Коэффициент занятости каналов обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу

Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости t зан и простоя t пр каналов, определяется следующим образом:

Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов

Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла

Т смо = n з /λ.

3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов

В реальной жизни система обслуживания туристов выглядит значительно сложнее, поэтому необходимо детализировать постановку задачи, учитывая запросы, требования как со стороны клиентов, так и турфирмы.

Для увеличения эффективности работы турфирмы необходимо смоделировать в целом поведение потенциального клиента от начала операции до ее завершения. Структура взаимосвязи основных систем массового обслуживания фактически состоит из СМО разного вида (рис. 3.3).

Поиск Выбор Выбор Решение

референт

поиск фирмы тура по туру

Оплата Перелет Исход

Рис. 3.3 Модель многофазной системы обслуживания туристов

Проблема с позиции массового обслуживания туристов, уезжающих на отдых, заключается в определении точного места отдыха (тура), адекватного требованиям претендента, соответствующего его здоровью и финансовым возможностям и представлениям об отдыхе в целом. В этом ему могут способствовать турфирмы, поиск которых осуществляется обычно из рекламных сообщений СМО р, затем после выбора фирмы происходит получение консультаций по телефону СМО т, после удовлетворительного разговора приезд в турфирму и получение более детальных консультаций лично с референтом, затем оплата путевки и получение обслуживания от авиакомпании по перелету СМО а и в конечном счете обслуживания в отеле СМ0 0 . Дальнейшее развитие рекомендаций по улучшению работы СМО фирмы связано с изменением профессионального содержания переговоров с клиентами по телефону. Для этого необходимо углубить анализ, связанный с детализацией диалога референта с клиентами, поскольку далеко не каждый переговоры по телефону приводит к заключению договора на приобретение путевки. Проведение формализации задачи обслуживания указало на необходимость формирования полного (необходимого и достаточного) перечня характеристик и их точных значений предмета коммерческой сделки. Затем проводятся ранжирование этих характеристик, например методом парных сравнений, и расположения в диалоге по степени их значимости, например: время года (зима), месяц (январь), климат (сухой), температура воздуха (+25"С), влажность (40%), географическое место (ближе к экватору), время авиаперелета (до 5 часов), трансферт, страна (Египет), город (Хургада), море (Красное), температура воды в море (+23°С), ранг отеля (4 звезды, работающий кондиционер, гарантия наличия шампуня в номере), удаленность от моря (до 300 м), удаленность от магазинов (рядом), удаленность от дискотек и других источников шума (подальше, тишина в течение сна в отеле), питание (шведский стол - завтрак, ужин, частота изменения меню за неделю), отели (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), экскурсии (Каир, Луксор, коралловые острова, подводное плавание), увеселительные шоу, спортивные игры, цена путевки, форма оплаты, содержание страховки, что брать с собой, что купить на месте, гарантии, штрафные санкции.

Есть еще один очень существенный показатель, выгодный для клиента, установить который предлагается самостоятельно въедливому читателю. Затем можно, используя метод опарного сравнения перечисленных характеристик х i , сформировать матрицу п х п сравнения, элементы которой заполняются последовательно по строкам по следующему правилу:

0, если характеристика менее значима,

а ij = 1, если характеристика равнозначима,

2, если характеристика доминирует.

После этого определяются значения сумм оценок по каждому показателю строки S i =∑a ij , вес каждой характеристики M i = S i /n 2 и соответственно интегральный критерий, на основе которого можно провести выбор турфирмы, тура или отеля, по формуле

F = ∑ M i * x i -» max.

С целью исключения возможных ошибок в этой процедуре вводят, например, 5-балльную шкалу оценок с градацией характеристик Б i (х i) по принципу хуже (Б i = 1 балл) - лучше (Б i = 5 баллов). Например, чем дороже тур, тем хуже, чем он дешевле, тем лучше. На этом основании целевая функция будет иметь другой вид:

F b = ∑ M i * Б i * x i -> max.

Таким образом, можно на основе применения математических методов и моделей, используя преимущества формализации, точнее и более объективно сформулировать постановку задач и значительно улучшить показатели СМО в коммерческой деятельности для достижения поставленных целей.

3.4 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

В коммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).

Рассмотрим простую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест в очереди т - фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и.покидает систему.

Граф этой СМО представлен на рис. 3.4 и совпадает с графом рис. 2.1 описывающим процесс «рождения-гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала.

S m

S 3

S 2

S 1

S 0

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

Рис. 3.4. Размеченный граф процесса «рождения - гибели» обслуживания все интенсивности потоков обслуживания равны

Состояния СМО можно представить следующим образом:

S 0 - канал обслуживания свободен,

S, - канал обслуживания занят, но очереди нет,

S 2 - канал обслуживания занят, в очереди стоит одна заявка,

S 3 - канал обслуживания занят, в очереди стоят две заявки,

S m +1 - канал обслуживания занят, в очереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.

Для описания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранее правилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

p 1 = ρ * ρ о

p 2 =ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p 0 = -1

Выражение для р 0 можно в аанном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующих преобразований получаем:

ρ= (1- ρ )

Эта формула справедлива для всех р, отличных от 1, если же р = 1, то р 0 = 1/(т + 2), а все остальные вероятности также равны 1/(т + 2). Если предположить т = 0, то мы переходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами в обслуживании. Действительно, выражение для предельной вероятности р 0 в случае т = 0 имеет вид:

p о = μ / (λ+μ)

И в случае λ = μ имеет величину р 0 = 1 / 2.

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Заявка получает отказ, если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии S m +1 и, следовательно, все места в очереди да заняты и один канал обслуживает Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появлением

Состояния S m +1:

P отк = p m +1 = ρ m +1 * p 0

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением

Q = 1- p отк = 1- ρ m+1 * p 0

абсолютная пропускная способность равна:

Среднее число заявок L оч стоящих в очереди на обслуживание, определяется математическим ожиданием случайной величины к - числа заявок, стоящих в очереди

случайная величина кпринимает следующие только целочисленные значения:

1 - в очереди стоит одна заявка,

2 - в очереди две заявки,

т-в очереди все места заняты

Вероятности этих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная с состояния S 2 . Закон распределения дискретной случайной величины к изображается следующим образом:

k	1	2	m
p i	p 2	p 3	p m+1

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

L оч = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

В общем случае при p ≠1 эту сумму можно преобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобному виду:

L оч = p 2 * 1- p m * (m-m*p+1) * p 0

В частном случае при р = 1, когда все вероятности p k оказываются равными, можно воспользоваться выражением для суммы членов числового ряда

1+2+3+ m = m ( m +1)

Тогда получим формулу

L’ оч = m(m+1) * p 0 = m(m+1) (p=1).

Применяя аналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее время ожидания обслуживания заявки а очереди определяется формулами Литтла

Т оч = L оч /А (при р ≠ 1) и Т 1 оч = L’ оч /А(при р = 1).

Такой результат, когда оказывается, что Т оч ~ 1/ λ, может показаться странным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должна возрастать длина очереди и уменьшается среднее время ожидания. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, величина L оч является функцией от λ и μ и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеет ограниченную длину очереди не более mзаявок.

Заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общем случае (при р ≠ 1) к уменьшению Т оч ростом λ, поскольку доля таких заявок с ростом λ увеличивается.

Если отказаться от ограничения на длину очереди, т.е. устремить m-> →∞, то случаи р < 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =р k *(1 - р)

При достаточно большом к вероятность p k стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q= 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А -λ Q - λ следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

L оч =p 2 1-p

а среднее время ожидания по формуле Литтла

Т оч = L оч /А

В пределе р << 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

В качестве одной из характеристик СМО используют среднее время Т смо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена - среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

L смо= m +1 ;2

Т смо= L смо; при p ≠1

Aтогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием) равно:

Т смо= m +1 при p ≠1 2μ

3.5 Одноканальная СМО с неограниченной очередью

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

Канал свободен, очереди нет, ;

Канал занят обслуживанием, очереди нет, ;

Канал занят, одна заявка в очереди, ;

Канал занят , заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m→∞:

Рис. 3.5 Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью.

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому , следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

;

Среднее число заявок в очереди –

Среднее число заявок в системе –

;

Среднее время пребывания заявки в системе –

;

Среднее время пребывания заявки с системе –

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при .

3.6 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальную СМО , на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , а интенсивность обслуживания каждого канала составляет , максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

Все каналы свободны, ;

Занят только один канал (любой), ;

Заняты только два канала (любых), ;

Заняты все каналов, .

Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя дальнейшие состояние системы:

Заняты все каналов и одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов и две заявки стоят в очереди,

Заняты все каналов и все мест в очереди,

Граф состояний n-канальной СМО с очередью, ограниченной m местами на рис.3.6

Рис. 3.6 Граф состояний n-канальной СМО с ограничением на длину очереди m

Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью , тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния , когда все n каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного .

Запишем выражения для предельных вероятностей состояний:

Выражение для можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем :

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее требований, т.е. когда в системе будет находиться требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей Поэтому вероятность образования очереди равна:

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все каналов и все мест в очереди заняты:

Относительная пропускная способность будет равна:

Абсолютная пропускная способность –

Среднее число занятых каналов –

Среднее число простаивающих каналов –

Коэффициент занятости (использования) каналов –

Коэффициент простоя каналов –

Среднее число заявок, находящихся в очередях –

В случае если , эта формула принимает другой вид –

Среднее время ожидания в очереди определяется формулами Литтла –

Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное , поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

3.7 Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает поток заявок с интенсивностью и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала . Размеченный граф состояний представлен на рис 3.7 Он имеет бесконечное число состояний:

S - все каналы свободны, k=0;

S - занят один канал, остальные свободны, k=1;

S - заняты два канала, остальные свободны, k=2;

S - заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m. Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для p расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Очереди нет

…

Рис.3.7 Размеченный граф состояний многоканальной СМО

с неограниченной очередью

для которого и определим выражения для предельных вероятностей состояний:

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:

среднее число заявок в очереди –

среднее время ожидания в очереди –

среднее число заявок в СМО –

Вероятность того, что СМО находится в состоянии , когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением

Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятность занятости обслуживанием k заявок –

На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием

Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением

Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием

Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла: и в системе

среднее число занятых каналов обслуживанием:

среднее число свободных каналов:

коэффициент занятости каналов обслуживанием:

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при Если же в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

3.8 Анализ системы массового обслуживания супермаркета

Одной из важных задач коммерческой деятельности является рациональная организация торгово-технологического процесса массового обслуживания, например в универсаме. В частности, определение мощности кассового узла торгового предприятия является непростой задачей. Такие экономико-организационные показатели, как нагрузка товарооборота на 1м 2 торговой площади, пропускная способность предприятия, время пребывания покупателей в магазине, а также показатели уровня технологического решения торгового зала: соотношение площадей зон самообслуживания и расчетного узла, коэффициенты установочной и выставочной площадей, во многом определяются пропускной способностью кассового узла. В этом случае пропускную способность двух зон (фаз) обслуживания: зоны самообслуживания и зоны расчетного узла (рис.4.1).

СМО

Интенсивность входного потока покупателей;

Интенсивность прихода покупателей зоны самообслуживания;

Интенсивность прихода покупателей в расчетный узел;

Интенсивность потока обслуживания.

Рис.4.1. Модель двухфазной СМО торгового зала универсама

Основная функция расчетного узла состоит в обеспечении высокой пропускной способности покупателей в торговом зале и создании комфортного обслуживания покупателей. Факторы, влияющие на пропускную способность расчетного узла, можно разделить на две группы:

1) экономико-организационные факторы: система материальной ответственности в универсаме; средняя стоимость и структура одной покупки;

2) организационная структура кассового узла;

3) технико-технологические факторы: применяемые типы кассовых аппаратов и кассовых кабин; применяемая контролером-кассиром технология обслуживания покупателей; соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.

Из перечисленных групп факторов наибольшее влияние оказывают организационное построение кассового узла и соответствие мощности кассового узла интенсивности покупательских потоков.

Рассмотрим обе фазы системы обслуживания:

1) выбор покупателями товаров в зоне самообслуживания;

2) обслуживание покупателей в зоне расчетного узла. Входящий поток покупателей попадает в фазу самообслуживания, и покупатель самостоятельно отбирает нужные ему товарные единицы, формируя их в единую покупку. Причем время этой фазы зависит от того, как взаиморазмещены товарные зоны, какой фронт они имеют, сколько времени тратит покупатель на выбор конкретного товара, какова структура покупки и т.д.

Выходящий поток покупателей из зоны самообслуживания одновременно является входящим потоком в зону кассового узла, который последовательно включает ожидание покупателя в очереди и затем обслуживание его контролером-кассиром. Кассовый узел можно рассматривать как систему обслуживания с потерями или как систему обслуживания с ожиданием.

Однако ни первая, ни вторая рассмотренные системы не позволяют реально описать процесс обслуживания в кассовом узле универсама по следующим причинам:

в первом варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с потерями, требует значительных как капитальных вложений, так и текущих затрат на содержание контролеров-кассиров;

во втором варианте кассовый узел, мощность которого будет рассчитана на систему с ожиданиями, приводит к большим затратам времени покупателей в ожидании обслуживания. При этом в часы пик зона расчетного узла «переполняется» и очередь покупателей «перетекает» в зону самообслуживания, что нарушает нормальные условия для выбора товара другими покупателями.

В связи с этим целесообразно рассматривать вторую фазу обслуживания как систему с ограниченной очереди, промежуточную между системой с ожиданием и системой с потерями. При этом предполагается, что одновременно в системе могут находиться не более L, причем L=n+m, где n-количество обслуживаемых клиентов в кассах, m-количество покупателей, стоящих в очереди, причем любая m+1- заявка покидает систему необслуженной.

Это условие позволяет, с одной стороны, ограничить площадь зоны расчетного узла с учетом максимально допустимой длины очереди, а с другой – ввести ограничение на время ожидания покупателями обслуживания в кассовом узле, т.е. учитывать издержки потребления покупателей.

Правомерность постановки задачи в таком виде подтверждается проведенными обследованиями потоков покупателей в универсамах, результаты которых приведены в табл. 4.1, анализ которых выявил тесную связь между средней длинной очереди в кассовом узле и количеством покупателей, не совершивших покупок.

Часы работы	День недели
	пятница			суббота			воскресенье
	оче-редь,	количество покупателей без покупок		оче-редь,	количество покупателей без покупок		оче-редь,	количество покупателей без покупок
	оче-редь,	чел.	%	оче-редь,	чел.	%	оче-редь,	чел.	%
с 9 до 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
с 10 до 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
с 11 до 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
с 12 до 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
с 14 до 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
с 15 до 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
с 16 до 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
с 17 до 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
с 18 до 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
с 19 до 20	6	105	7,6	6	77	6
с 20 до 21	6	58	7	5	39	4,4
Итого	749	6,5	862	6,3	904	4,5

В организации работы кассового узла универсама имеется еще одна важная особенность, которая значительно влияет на его пропускную способность: наличие экспресс-касс (одной-двух покупок). Изучение структуры потока покупателей в универсамах по типу кассового обслуживания показывает, что поток оборот составляет 12,9% (табл. 4.2).

Дни недели	Потоки покупателей			Товарооборот
Дни недели	всего	по экспресс-кассам	% к дневномупотоку	всего	по экспресс-кассам	% к дневному товарообороту
Летний период
Понедельник	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
Вторник	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
Среда	10175	2435	24	33945	2047,37	6
Четверг	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
Пятница	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
Суббота	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
Воскресенье	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
Зимний период
Понедельник	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
Вторник	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
Среда	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
Четверг	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
Пятница	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
Суббота	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
Воскресенье	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

Для окончательного построение математической модели процесса обслуживания с учетом перечисленных выше факторов необходимо определить функции распределения случайных величин, а также случайные процессы, описывающие входящие и выходящие потоки покупателей:

1) функцию распределения времени покупателей на выбор товаров в зоне самообслуживания;

2) функцию распределения времени работы контролера-кассира для обычных касс и экспресс-касс;

3) случайный процесс, описывающий входящий поток покупателей в первую фазу обслуживания;

4) случайный процесс, описывающий входящий поток во вторую фазу обслуживания для обычных касс и экспресс-касс.

Моделями для расчета характеристик системы массового обслуживания удобно пользоваться в том случае, если входящий поток требований в систему обслуживания является простейшим пуассоновским потоком, а время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному закону.

Исследование потока покупателей в зоне кассового узла показало, что для него может быть принят пуассоновский поток.

Функция распределения времени обслуживания покупателей контролерами-кассирами является экспоненциальной, такое допущение не приводит к большим ошибкам.

Безусловный интерес представляет анализ характеристик обслуживания потока покупателей в кассовом узле универсама, рассчитанных для трех систем: с потерями, с ожиданием и смешанного типа.

Расчеты параметров процесса обслуживания покупателей в кассовом узле проведены для коммерческого предприятия торговой площадью S=650на основе следующих данных.

Целевая функция может быть записана в общем виде связи (критерия) выручки от реализации от характеристик СМО:

где - кассовый узел состоит из =7 касс обычного типа и =2 экспресс-касс,

Интенсивность обслуживания покупателей в зоне обычных касс – 0,823 чел./мин;

Интенсивность нагрузки кассовых аппаратов в зоне обычных касс – 6,65,

Интенсивность обслуживания покупателей в зоне экспресс-касс – 2,18 чел./мин;

Интенсивность входящего потока в зону обычных касс – 5,47 чел./мин

Интенсивность нагрузки кассовых аппаратов в зоне экспресс-касс – 1,63,

Интенсивность входящего потока в зону экспресс-касс – 3,55 чел./мин;

Для модели СМО с ограничением на длину очереди в соответствии с проектируемой зоной кассового узла максимально допустимое число покупателей, стоящих в очереди в одну кассу, принимается равным m=10 покупателей.

Следует заметить, что для получения сравнительно небольших по абсолютной величине значений вероятности потерь заявок и времени ожидания покупателей в кассовом узле необходимо соблюдать следующие условия:

В табл.6.6.3 приведены результаты характеристик качества функционирования СМО в зоне расчетного узла.

Расчеты проведены для наиболее напряженного периода времени рабочего дня с 17 до 21 часа. Именно на этот период, как показали результаты обследований, приходится около 50% однодневного потока покупателей.

Из приведенных данных в табл. 4.3 следует, что если бы для расчета была выбрана:

1) модель с отказами, то 22,6% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, и соответственно 33,6% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, должны были бы уйти без покупок;

2) модель с ожиданием, то потерь заявок в расчетном узле не должно бы быть;

Табл. 4.3 Характеристики системы массового обслуживания покупателей в зоне расчетного узла

Тип кассы	Количество касс в узле	Тип СМО	Характеристики СМО
Тип кассы	Количество касс в узле	Тип СМО	Среднее число занятых касс,	среднее время ожидания обслуживания,	Вероятность потери заявок,
Обычные кассы	7	с отказами с ожиданием с ограничением
Экспресс-кассы	2	с отказами с ожиданием с ограничением

3) модель с ограничением на длину очереди, то только 0,12% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, и 1,8% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, покинут торговый зал без покупок. Следовательно, модель с ограничением на длину очереди позволяет более точно и реально описать процесс обслуживания покупателей в зоне кассового узла.

Интерес представляет сравнительный расчет мощности кассового узла как с учетом экспресс-касс, так и без них. В табл. 4.4 приведены характеристики системы обслуживания кассового узла трех типоразмеров универсамов, рассчитанные по моделям для СМО с ограничением на длину очереди на наиболее напряженный период рабочего дня с 17 до 21 часа.

Анализ данных этой таблицы показывает, что не учет фактора «Структура потока покупателей по типу кассового обслуживания» на стадии технологического проектирования может привести к увеличению зоны расчетного узла на 22-33%, а отсюда соответственно и к уменьшению установочных и выставочных площадей торгово-технологического оборудования и товарной массы, размещаемой в торговом зале.

Проблема определения мощности кассового узла представляет собой цепочку взаимосвязанных характеристик. Так, увеличение его мощности сокращает время покупателей на ожидание обслуживания, уменьшает вероятность потери требований и, следовательно, потери товарооборота. Наряду с этим необходимо соответственно уменьшить зону самообслуживания, фронт торгово-технологического оборудования, товарную массу в торговом зале. В то же время увеличивается затраты на заработную плату контролеров-кассиров и оборудование дополнительных рабочих мест. Поэтому

№ п/п	Характеристики СМО	Единица измерения	Обозначение		Показатели, рассчитанные по типам универсамов торговой площади, кв. м
					Без экспресс-касс						С учетом экспресс-касс
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Обычные кассы		Экспресс-кассы	Обычные кассы		экспресс-кассы	Обычные кассы		экспресс-кассы
1	Количество покупателей	чел.	k		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Интенсивность входящего потока		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Интенсивность обслуживания	чел./мин	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Интенсивность нагрузки	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Количество кассовых аппаратов	шт.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Общее количество касс расчетного узла	шт.		∑n		12		17		34		9			14			26

необходимо проводить оптимизационные расчеты. Рассмотрим характеристики системы обслуживания в кассовом узле универсама торговой площади 650м, рассчитанные по моделям СМО с ограниченной длиной очереди для различных мощностей его кассового узла в табл. 4.5.

На основе анализа данных табл. 4.5 можно сделать вывод, что по мере увеличения количества касс время ожидания покупателей в очереди растет, а затем после определенного момента резко падает. Характер изменения графика времени ожидания покупателей понятен, если параллельно рассматривать изменение вероятности потери требования Вполне очевидно, что когда мощность кассового узла чрезмерно мала, то более 85% покупателей будут уходить необслуженными, а оставшаяся часть покупателей будет обслужена за очень короткое время. Чем больше мощность кассового узла, тем вероятность потери требований будет дожидаться своего обслуживания, а значит, и время их ожидания в очереди соответственно будет расти. После того как ожидания и вероятность потерь будут резко уменьшаться.

Для универсама торговой площадью 650 этот предел для зоны обычных касс лежит между 6 и 7 кассовыми аппаратами. При 7 кассовых аппаратах соответственно среднее время ожидания – 2,66 мин, а вероятность потери заявок очень мала – 0,1%. Таким образом, которая позволит получить минимальные совокупные затраты на массовое обслуживание покупателей.

Тип кассового обслуживания	Количество кассовых аппаратов в узле n, шт.	Характеристики системы обслуживания		Средняя выручка за 1 ч. руб.	Средняя потеря выручки за 1 ч. руб	Число покупателей в зоне расчетного узла	Площадь зоны расчетного узла, Sy, м	Удель ный вес площади зоны узла 650/ Sy
Тип кассового обслуживания	Количество кассовых аппаратов в узле n, шт.	Среднее время ожидания, Т,мин	Вероятность потери заявок	Средняя выручка за 1 ч. руб.	Средняя потеря выручки за 1 ч. руб	Число покупателей в зоне расчетного узла	Площадь зоны расчетного узла, Sy, м	Удель ный вес площади зоны узла 650/ Sy
Зоны Обычных касс
Зоны экспресс-касс

Заключение

На основе анализа данных табл. 4.5 можно сделать вывод, что по мере увеличения количество касс время ожидания покупателей в очереди растет. А затем после определенного момента резко падает. Характер изменения графика времени ожидания покупателей понятен, если параллельно рассматривать изменение вероятности потери требований Вполне очевидно, что когда мощность кассового узла чрезмерно мала, то более 85% покупателей будут уходить необслуженными, а оставшаяся часть покупателей будет обслужена за очень короткое время. Чем больше мощность кассового узла. Тем вероятность потери требований будет уменьшаться и соответственно тем большее число покупателей будет дожидаться своего обслуживания, а значит, и время их ожидания в очереди соответственно будет расти. После того как расчетный узел превысит оптимальный мощность, время ожидания и вероятность потерь будут резко уменьшаться.

Для универсама торговой площадью 650 кв. метров этот предел для зоны обычных касс лежит между 6-8 кассовыми аппаратами. При 7 кассовых аппаратах соответственно среднее время ожидания- 2,66 мин, а вероятность потери заявок очень мало - 0,1 % . Таким образом, задача состоит в выборе такой мощности кассового узла, которая позволит получит минимальные совокупные затраты на массовое обслуживание покупателей.

В связи с этим следующим этапом решения поставленной задачи является оптимизация мощности кассового узла на базе применения моделей СМО разных типов с учетом совокупных затрат и перечисленных выше факторов.

Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать так называемые задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элемента системы) могут возникать, по крайней мере, две типичные ситуации:

число заявок слишком велико для данной станции, возникают очереди, и за задержки в обслуживании приходится платить;
на станцию поступает слишком мало заявок и теперь уже приходится учитывать потери, вызванные простоем станции.

Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя станций.

Теория массового обслуживания – специальный раздел теории систем – это раздел теории вероятности, в котором изучаются системы массового обслуживания с помощью математических моделей.

Система массового обслуживания (СМО) – это модель, включающая в себя: 1) случайный поток требований, вызовов или клиентов, нуждающихся в обслуживании; 2) алгоритм осуществления этого обслуживания; 3) каналы (приборы) для обслуживания.

Примерами СМО являются кассы, АЗС, аэропорты, продавцы, парикмахеры, врачи, телефонные станции и другие объекты, в которых осуществляется обслуживание тех или иных заявок.

Задача теории массового обслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы с целью обеспечения высокой эффективности обслуживания при оптимальных затратах.

Главная особенность задач данного класса – явная зависимость результатов анализ и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит и времени их исполнения).

Предмет теории массового обслуживания – это установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала обслуживания, числом каналов и эффективностью обслуживания.

В качестве характеристик СМО рассматриваются:

средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему не обслуженными;
среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом;
среднее время ожидания в очереди;
вероятность того, что поступившая заявка будет немедленно обслужена;
закон распределения длины очереди и другие.

Добавим, что заявки (требования) поступают в СМО случайным образом (в случайные моменты времени), с точками сгущения и разрежения. Время обслуживания каждого требования также является случайным, после чего канал обслуживания освобождается и готов к выполнению следующего требования. Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, обладает некоторой пропускной способностью. Пропускная способность СМО может быть абсолютной (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) и относительной (среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных).

3.1 Модели систем массового обслуживания.

Каждую СМО может характеризовать выражением: (a / b / c) : (d / e / f) , где

a - распределение входного потока заявок;

b - распределение выходного потока заявок;

c – конфигурация обслуживающего механизма;

d – дисциплина очереди;

e – блок ожидания;

f – емкость источника.

Теперь рассмотрим подробнее каждую характеристику.

Входной поток заявок – количество поступивших в систему заявок. Характеризуется интенсивностью входного потока l .

Выходной поток заявок – количество обслуженных системой заявок. Характеризуется интенсивностью выходного потока m .

Конфигурация системы подразумевает общее число каналов и узлов обслуживания. СМО может содержать:

один канал обслуживания (одна взлетно-посадочная полоса, один продавец);
один канал обслуживания, включающий несколько последовательных узлов (столовая, поликлиника, конвейер);
несколько однотипных каналов обслуживания, соединенных параллельно (АЗС, справочная служба, вокзал).

Таким образом, можно выделить одно- и многоканальные СМО.

С другой стороны, если все каналы обслуживания в СМО заняты, то подошедшая заявка может остаться в очереди, а может покинуть систему (например, сбербанк и телефонная станция). В этом случае мы говорим о системах с очередью (ожиданием) и о системах с отказами.

Очередь – это совокупность заявок, поступивших в систему для обслуживания и ожидающих обслуживания. Очередь характеризуется длиной очереди и ее дисциплиной.

Дисциплина очереди – это правило обслуживания заявок из очереди. К основным типам очереди можно отнести следующие:

ПЕРППО (первым пришел – первым обслуживаешься) – наиболее распространенный тип;
ПОСППО (последним пришел – первым обслуживаешься);
СОЗ (случайный отбор заявок) – из банка данных.
ПР – обслуживание с приоритетом.

Длина очереди может быть

неограничена – тогда говорят о системе с чистым ожиданием;
равна нулю – тогда говорят о системе с отказами;
ограничена по длине (система смешанного типа).

Блок ожидания – «вместимость» системы – общее число заявок, находящихся в системе (в очереди и на обслуживании). Таким образом, е=с+ d .

Емкость источника , генерирующего заявки на обслуживание – это максимальное число заявок, которые могут поступить в СМО. Например, в аэропорту емкость источника ограничена количеством всех существующих самолетов, а емкость источника телефонной станции равна количеству жителей Земли, т.е. ее можно считать неограниченной.

Количество моделей СМО соответствует числу всевозможных сочетаний этих компонент.

3.2 Входной поток требований.

С каждым отрезком времени [a , a + T ], свяжем случайную величину Х , равную числу требований, поступивших в систему за время Т .

Поток требований называется стационарным , если закон распределения не зависит от начальной точки промежутка а , а зависит только от длины данного промежутка Т . Например, поток заявок на телефонную станцию в течение суток (Т =24 часа) нельзя считать стационарным, а вот с 13 до 14 часов (Т =60 минут) – можно.

Поток называется без последействия , если предыстория потока не влияет на поступления требований в будущем, т.е. требования не зависят друг от друга.

Поток называется ординарным , если за очень короткий промежуток времени в систему может поступить не более одного требования. Например, поток в парикмахерскую – ординарный, а в ЗАГС – нет. Но, если в качестве случайной величины Х рассматривать пары заявок, поступающих в ЗАГС, то такой поток будет ординарным (т.е. иногда неординарный поток можно свести к ординарному).

Поток называется простейшим , если он стационарный, без последействия и ординарный.

Основная теорема. Если поток – простейший, то с.в. Х [ a . a + T ] распределена по закону Пуассона, т.е. .

Следствие 1 . Простейший поток также называется пуассоновским.

Следствие 2 . M (X )= M (Х [ a , a + T ] )= l T , т.е. за время Т l T заявок. Следовательно, за одну единицу времени в систему поступает в среднем l заявок. Эта величина и называется интенсивностью входного потока.

Рассмотрим ПРИМЕР.

В ателье поступает в среднем 3 заявки в день. Считая поток простейшим, найти вероятность того, что в течение двух ближайших дней число заявок будет не менее 5.

Решение.

По условию задачи, l =3, Т =2 дня, входной поток пуассоновский, n ³5. при решении удобно ввести противоположное событие, состоящее в том, что за время Т поступит меньше 5 заявок. Следовательно, по формуле Пуассона, получим

^

3.3 Состояние системы. Матрица и граф переходов.

В случайный момент времени СМО переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок и очереди и пр. Таким образом, СМО с n каналами и длиной очереди, равной m , может находиться в одном из следующих состояний:

Е 0 – все каналы свободны;

Е 1 – занят один канал;

Е n – заняты все каналы;

Е n +1 – заняты все каналы и одна заявка в очереди;

Е n + m – заняты все каналы и все места в очереди.

Аналогичная система с отказами может находиться в состояниях E 0 – E n .

Для СМО с чистым ожиданием существует бесконечное множество состояний. Таким образом, состояниеE n СМО в момент времени t – это количество n заявок (требований), находящихся в системе в данный момент времени, т.е. n = n (t ) – случайная величина, E n (t ) – исходы этой случайной величины, а P n (t ) – вероятность пребывания системы в состоянии E n .

С состоянием системы мы уже знакомы. Отметим, что не все состояния системы равнозначны. Состояние системы называется источником , если система может выйти из этого состояния, но не может в него вернуться. Состояние системы называется изолированным, если система не может выйти из этого состояния или в него войти.

Для наглядности изображения состояний системы используют схемы (так называемые графы переходов), в которых стрелки указывают возможные переходы системы из одного состояния в другое, а также вероятности таких переходов.

Рисунок 3.1 – граф переходов

Сост.	Е 0	Е 1	Е 2
Е 0	Р 0,0	Р 0,1	Р 0,2
Е 1	Р 1,0	Р 1,1	Р 1,2
Е 2	Р 2,0	Р 2,2	Р 2,2

Также иногда удобно воспользоваться матрицей переходов. При этом первый столбец означает исходные состояния системы (текущие), а далее приведены вероятности перехода из этих состояний в другие.

Так как система обязательно перейдет из одного

состояния в другое, то сумма вероятностей в каждой строке всегда равна единице.

3.4 Одноканальные СМО.

3.4.1 Одноканальные СМО с отказами.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям:

(Р/Е/1):(–/1/¥) . Предположим также, что время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему. Здесь и далее «Р» означает, что входной поток распределен по закону Пуассона, т.е. простейший, «Е» означает, что выходной поток распределен по экспоненциальному закону. Также здесь и далее основные формулы даются без доказательства.

Для такой системы возможно два состояния: Е 0 – система свободна и Е 1 – система занята. Составим матрицу переходов. Возьмем D t – бесконечно малый промежуток времени. Пусть событие А состоит в том, что в систему за время D t поступило одно требование. Событие В состоит в том, что за время D t обслужено одно требование. Событие А i , k – за время D t система перейдет из состояния E i в состояние E k . Так как l – интенсивность входного потока, то за время D t в систему в среднем поступает l*D t требований. То есть, вероятность поступления одного требования Р(А)= l* D t , а вероятность противоположного событияР(Ā)=1- l*D t . Р(В)= F (D t )= P (b < D t )=1- e - m D t = m D t – вероятность обслуживания заявки за время D t . Тогда А 00 – заявка не поступит или поступит, но будет обслужена. А 00 =Ā+А* В. Р 00 =1- l*D t . (мы учли, что(D t ) 2 – бесконечно малая величина)

А 01 – заявка поступит, но не будет обслужена. А 01 =А* . Р 01 = l*D t .

А 10 – заявка будет обслужена и новой не будет. А 10 =В* Ā. Р 10 = m*D t .

А 11 – заявка не будет обслужена или поступит новая, которая еще не обслужена. А 11 =+В* А. Р 01 =1- m*D t .

Таким образом, получим матрицу переходов:

Сост.	Е 0	Е 1
Е 0	1-l* Dt	l* Dt
Е 1	m* Dt	1-m* Dt

Вероятность простоя и отказа системы.

Найдем теперь вероятность нахождения системы в состоянии Е 0 в любой момент времени t (т.е. р 0 ( t ) ). График функции
изображен на рисунке 3.2.

Асимптотой графика является прямая
.

Очевидно, начиная с некоторого момента t ,

Рисунок 3.2

Окончательно получим, что
и
, где р 1 (t ) – вероятность того, что в момент времени t система занята (т.е. находится в состоянии Е 1 ).

Очевидно, что в начале работы СМО протекающий процесс не будет стационарным: это будет «переходный», нестационарный режим. Спустя некоторое время (которое зависит от интенсивностей входного и выходного потока) этот процесс затухнет и система перейдет в стационарный, установившийся режим работы, и вероятностные характеристики уже не будут зависеть от времени.

Стационарный режим работы и коэффициент загрузки системы.

Если вероятность нахождения системы в состоянии Е k , т.е. Р k (t ), не зависит от времени t , то говорят, что в СМО установился стационарный режим работы. При этом величина
называется коэффициентом загрузки системы (или приведенной плотностью потока заявок). Тогда для вероятностейр 0 (t ) ир 1 (t ) получаем следующие формулы:
,
. Можно также сделать вывод:чем больше коэффициент загрузки системы, тем больше вероятность отказа системы (т.е. вероятность того, что система занята).

На автомойке один блок для обслуживания. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти вероятность того, что подъехавший автомобиль найдет систему занятой, если СМО работает в стационарном режиме.

Решение. По условию задачи, l =5, m y =5/6. Надо найти вероятность р 1 – вероятность отказа системы.
.

3.4.2 Одноканальные СМО с неограниченной длиной очереди.

Будем рассматривать системы, удовлетворяющие требованиям: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Система может находиться в одном из состояний E 0 , …, E k , … Анализ показывает, что через некоторое время такая система начинает работать в стационарном режиме, если интенсивность выходного потока превышает интенсивность входного потока (т.е. коэффициент загрузки системы меньше единицы). Учитывая это условие, получим систему уравнений

решая которую найдем, что . Таким образом, при условии, что y <1, получим
Окончательно,
и
– вероятность нахождения СМО в состоянии Е k в случайный момент времени.

Средние характеристики системы.

За счет неравномерного поступления требований в систему и колебания времени обслуживания, в системе образуется очередь. Для такой системы можно исследовать:

n – количество требований, находящихся в СМО (в очереди и на обслуживании);
v – длину очереди;
w – время ожидания начала обслуживания;
w 0 – общее время нахождения в системе.

Нас будут интересовать средние характеристики (т.е. берем математическое ожидание от рассматриваемых случайных величин, и помним, что y <1).

– среднее число заявок в системе.

– средняя длина очереди.

– среднее время ожидания начала обслуживания, т.е. время ожидания в очереди.

– среднее время, которое заявка проводит в системе – в очереди и на обслуживании.

На автомойке один блок для обслуживания и есть место для очереди. Автомобили прибывают по пуассоновскому распределению с интенсивностью 5 авто/час. Среднее время обслуживания одной машины – 10 минут. Найти все средние характеристики СМО.

Решение. l =5, m =60мин/10мин = 6. Коэффициент загрузки y =5/6. Тогда среднее число автомобилей в системе
, средняя длина очереди
, среднее время ожидания начала обслуживания
часа = 50 мин, и, наконец, среднее время нахождения в системе
час.

3.4.3 Одноканальные СМО смешанного типа.

Предположим, что длина очереди составляет m требований. Тогда, для любого s £ m , вероятность нахождения СМО в состоянии Е 1+ s , вычисляется по формуле
, т.е. одна заявка обслуживается и еще s заявок – в очереди.

Вероятность простоя системы равна
,

а вероятность отказа системы -
.

Даны три одноканальные системы, для каждой l =5, m =6. Но первая система – с отказами, вторая – с чистым ожиданием, а третья – с ограниченной длиной очереди, m =2. Найти и сравнить вероятности простоя этих трех систем.

Решение. Для всех систем коэффициент загрузки y =5/6. Для системы с отказами
. Для системы с чистым ожиданием
. Для системы с ограниченной длиной очереди
. Вывод очевиден: чем больше заявок находится в очереди, тем меньше вероятность простоя системы.

3.5 Многоканальные СМО.

3.5.1 Многоканальные СМО с отказами.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(-/s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Многоканальные системы, помимо коэффициента загрузки, можно также характеризовать коэффициентом
, где s – число каналов обслуживания. Исследуя многоканальные СМО, получим следующие формулы (формулы Эрлáнга ) для вероятности нахождения системы в состоянии Е k в случайный момент времени:

, k=0, 1, …

Функция стоимости.

Как и для одноканальных систем, увеличение коэффициента загрузки ведет к увеличению вероятности отказа системы. С другой стороны, увеличение количества линий обслуживания ведет к увеличению вероятности простоя системы или отдельных каналов. Таким образом, необходимо найти оптимальное количество каналов обслуживания данной СМО. Среднее число свободных линий обслуживания можно найти по формуле
. Введем С(s ) – функцию стоимости СМО, зависящую от с 1 – стоимости одного отказа (штрафа за невыполненную заявку) и от с 2 – стоимости простоя одной линии за единицу времени.

Для поиска оптимального варианта надо найти (и это можно сделать) минимальное значение функции стоимости: С(s ) = с 1* l * p s +с 2* , график которой представлен на рисунке 3.3:

Рисунок 3.3

Поиск минимального значения функции стоимости состоит в том, что мы находим ее значения сначала дляs =1, затем для s =2, потом для s =3, и т.д. до тех пор, пока на каком-то шаге значение функции С(s ) не станет больше предыдущего. Это и означает, что функция достигла своего минимума и начала расти. Ответом будет то число каналов обслуживания (значение s ), для которого функция стоимости минимальна.

ПРИМЕР.

Сколько линий обслуживания должна содержать СМО с отказами, если l =2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 7 тыс.руб., стоимость простоя одной линии – 2 тыс.руб. в час?

Решение. y = 2/1=2. с 1 =7, с 2 =2.

Предположим, что СМО имеет два канала обслуживания, т.е. s =2. Тогда
. Следовательно, С(2) = с 1 *l* p 2 +с 2 *(2- y* (1-р 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Предположим, что s =3. Тогда
, С(3) = с 1 *l* p 3 +с 2 *
=5.79.

Предположим, что имеется четыре канала, т.е. s =4. Тогда
,
, С(4) = с 1 *l* p 4 +с 2 *
=5.71.

Предположим, что СМО имеет пять каналов обслуживания, т.е. s =5. Тогда
, С(5) = 6.7 – больше предыдущего значения. Следовательно, оптимальное число каналов обслуживания – четыре.

3.5.2 Многоканальные СМО с очередью.

Будем рассматривать системы (Р/Е/s):(d/d+s/¥) в предположении, что время обслуживания не зависит от входного потока и все линии работают независимо. Будем говорить, что в системе установилсястационарный режим работы , если среднее число поступающих требований меньше среднего числа требований, обслуженных на всех линиях системы, т.е. l

P(w>0) – вероятность ожидания начала обслуживания,
.

Последняя характеристика позволяет решать задачу об определении оптимального числа каналов обслуживания с таким расчетом, чтобы вероятность ожидания начала обслуживания была меньше заданного числа. Для этого достаточно просчитать вероятность ожидания последовательно при s =1, s =2, s =3 и т.д.

ПРИМЕР.

СМО – станция скорой помощи небольшого микрорайона. l =3 вызова в час, а m = 4 вызова в час для одной бригады. Сколько бригад необходимо иметь на станции, чтобы вероятность ожидания выезда была меньше 0.01?

Решение. Коэффициент загрузки системы y =0.75. Предположим, что в наличие имеется две бригады. Найдем вероятность ожидания начала обслуживания при s =2.
,
.

Предположим наличие трех бригад, т.е. s =3. По формулам получим, что р 0 =8/17, Р(w >0)=0.04>0.01 .

Предположим, что на станции четыре бригады, т.е. s =4. Тогда получим, что р 0 =416/881, Р(w >0)=0.0077<0.01 . Следовательно, на станции должно быть четыре бригады.

3.6 Вопросы для самоконтроля

Предмет и задачи теории массового обслуживания.
СМО, их модели и обозначения.
Входной поток требований. Интенсивность входного потока.
Состояние системы. Матрица и граф переходов.
Одноканальные СМО с отказами.
Одноканальные СМО с очередью. Характеристики.
Стационарный режим работы. Коэффициент загрузки системы.
Многоканальные СМО с отказами.
Оптимизация функции стоимости.
Многоканальные СМО с очередью. Характеристики.

3.7 Упражнения для самостоятельной работы

Закусочная на АЗС имеет один прилавок. Автомобили прибывают в соответствии с пуассоновским распределением, в среднем 2 автомобиля за 5 минут. Для выполнения заказа в среднем достаточно 1.5 минуты, хотя продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону. Найти: а) вероятность простоя прилавка; b) средние характеристики; c) вероятность того, что количество прибывших автомобилей будет не менее 10.
Рентгеновский аппарат позволяет обследовать в среднем 7 человек в час. Интенсивность посетителей составляет 5 человек в час. Предполагая стационарный режим работы, определить средние характеристики.
Время обслуживания в СМО подчиняется экспоненциальному закону,
m = 7требований в час. Найти вероятность того, что а) время обслуживания находится в интервале от 3 до 30 минут; b) требование будет обслужено в течение одного часа. Воспользоваться таблицей значений функции е х .
В речном порту один причал, интенсивность входного потока – 5 судов в день. Интенсивность погрузочно-разгрузочных работ – 6 судов в день. Имея в виду стационарный режим работы, определить все средние характеристики системы.
l =3, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 2?
Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =3, m =1, штраф за каждый отказ равен 7, а стоимость простоя одной линии равна 3?
Какое оптимальное число каналов обслуживания должна иметь СМО, если l =4, m =2, штраф за каждый отказ равен 5, а стоимость простоя одной линии равна 1?
Определить число взлетно-посадочных полос для самолетов с учетом требования, что вероятность ожидания должна быть меньше, чем 0.05. При этом интенсивность входного потока 27 самолетов в сутки, а интенсивность их обслуживания – 30 самолетов в сутки.
Сколько равноценных независимых конвейерных линий должен иметь цех, чтобы обеспечить ритм работы, при котором вероятность ожидания обработки изделий должна быть меньше 0.03 (каждое изделие выпускается одной линией). Известно, что интенсивность поступления заказов 30 изделий в час, а интенсивность обработки изделия одной линией – 36 изделий в час.
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром l=5. Найти функцию распределения, характеристики и вероятность попадания с.в. Х в интервал от 0.17 до 0.28.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту, равно 3. Считая поток пуассоновским, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) два вызова; б) меньше двух вызовов; в) не менее двух вызовов.
В ящике 17 деталей, из которых 4 – бракованные. Сборщик наугад извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что а) все извлеченные детали – качественные; б) среди извлеченных деталей 3 бракованных.
Сколько каналов должна иметь СМО с отказами, если l =2треб/час, m =1треб/час, штраф за каждый отказ составляет 8т.руб., стоимость простоя одной линии – 2т.руб. в час?

Основы математического моделирования

социально-экономических процессов

Лекция 3

Тема лекции: «Модели систем массового обслуживания»

1. Модели организационных структур управления (ОСУ).

2. Системы и модели массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО).

3.Модели СМО. Показатели качества функционирования СМО.

МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).

Многие экономические задачи связаны с системами мас-сового обслуживания (СМО), т. е. с такими системами, в кото-рых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требо-вания) на выполнение каких-либо услуг, с другой — проис-ходит удовлетворение этих запросов.

СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания (ТМО).

Методами теории массового обслуживания (ТМО) могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых то- чек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций. И задача тео-рии массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммар-ные расходы на обслуживание и убытки от простоя транс-порта были бы минимальными. Теория массового обслужи-вания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рас-сматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование.

Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем. Переход к рынку требует от всех субъектов хозяйствования повышенной надежности и эффективности функционирования производств, гибкости и живучести в ответ на динамичные изменения внешней деловой среды, снижения разновидностей рисков и потерь от запоздалых и некомпетентных управленческих решений.

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) ЯВЛЯЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ) призваны оперативно отслеживать колебания рынка и принимать в зависимости от складывающихся ситуаций компетентные управленческие решения.

Поэтому становится понятным то внимание, которое уделяют субъекты рынка (транснациональные корпорации, промышленные предприятия, коммерческие банки, фирмы, организации, малые предприятия и т.п.) выбору эффективно функционирующих организационных структур управления (ОСУ).

Взамен широко распространенных в 90-х годах двадцатого столетия ОСУ предприятий (иерархических, матричных, дуальных, параллельных и др.) сегодня в мире эффективно используются АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ФОРМЫ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР, базирующихся на принципах самоорганизации, адаптации, автономности отдельных подразделений с мягкими связями между ними .

Подобной структурой обладает множество передовых зарубежных фирм, в составе которых насчитывается множество рабочих групп с сетевыми взаимоотношениями между ними. Популярными в последнее время считаются организации, ориентированные на минимизацию потребления ресурсов, имеющие явно выраженную горизонтальную форму с координацией, осуществляемой не по иерархическому признаку, а самими рабочими группами, организованными в сеть.

Альтернативными моделями, противостоящими моделям ОСУ, созданным на базе организационной логики и жесткого регулирования, являются нечеткие структуры без иерархических уровней и структурных подразделений , основанные на координации личной ответственности и профилировании самоуправляемых групп со следующими признаками:

а) наличием относительно независимых рабочих групп с участием представителей различных подразделений, создаваемых для решения определенных проектов и проблем, при широкой свободе действий и автономии в области координации задач и принятия решений;

б) ликвидацией жестких связей между подразделениями ОСУ с введением гибких взаимосвязей.

На аналогичных принципах базируется современная концепция минимизированного по ресурсам производства: на подобных предприятиях в качестве организационных единиц используют рабочие группы с широкими полномочиями и большими возможностями самоуправления с конечной целью, заключающейся в создании разумной гибкой организации труда, опирающейся на самостоятельно действующих исполнителей, а не на синтезированные специалистами рациональные структуры; сотрудниками оцениваются возникающие проблемы, определяются возможности контактов со специалистами внутри и за пределами системы. Самоуправляемый персонал основной упор делает на самоорганизацию, заменяющую собой привнесенную извне (задаваемую сверху) жесткую упорядоченную структуру.

Крайним случаем такого подхода является создание безорганизационной, постоянно «размороженной», структуры со следующими свойствами:

Широкое творческое обсуждение любых обрабатываемых процедур и поступающих извне сигналов без учета шаблонных решений и прошлого опыта;

Автономная работа членов групп с самостоятельной организацией временных взаимосвязей и производственных соглашений между партнерами по мере необходимости для решения возникающих проблем.

Заметим, что чрезмерное увлечение одной системной функцией — гибкостью, при полном игнорировании прочих функций — интеграции, идентификации, учета и контроля, всегда опасно для устойчиво функционирующих систем, так как трудно обеспечить успешную координацию в рамках данной организации без высокой квалификации сотрудников, их способности к обучению и совершенствованию, к установлению эффективных контактов и координации.При подобной форме организации основное внимание должно уделяться созданию условий для максимального использования интеллекта человеческих ресурсов и повышения их квалификации, выделению высококвалифицированных специалистов — системщиков, увязывающих действия членов организации для достижения конечной цели. При этом в сфере системной координации существует вероятность возможных срывов, конфликтов и негативных последствий, так как ориентация на способность персонала к самоорганизации и самокоординации носит слишком общий характер. Хотя высокая компетентность, инициатива и сила воли каждого работника и влияет на жизнеспособность любой децентрализованной организации, но в целом они не могут заменить регулирующей функции целой организационной структуры.

Сегодня в мире интенсивно развивается новое направление синтеза ОСУ как обучающихся систем, характеризующихся следующими характерными особенностями:

а) привлечением высококвалифицированных экспертов-специалистов к процессам восприятия и накопления информации, а также к обучению и расширению способностей персонала;

б) постоянным изменением в процессе функционирования, расширением своих способностей взаимодействия с окружающей деловой средой и быстрой адаптацией к постоянно меняющимся внешним и внутренним условиям;

в) широким распространением открытых компьютерных сетей, охватывающих не только отдельные организации, предприятия или их конгломераты, но и целые крупные регионы и даже совокупности стран (ЕЭС, СВИФТ и др.), что обусловливает новые возможности организации и повышения эффективности работы предприятий и отраслей в масштабах всей страны и даже всего мира.

Считается, что ОСУ должна создаваться на принципах многофункциональности и многоаспектности, позволяющих эффективно контролировать сложные рынки и распределять имеющиеся ресурсы. Из анализа мирового опыта функционирования ОСУ в условиях рынка применительно к российской экономике и ее субъектам хозяйствования можно выделить следующие рекомендации:

1) иерархическую ОСУ можно сохранять и применять с минимумом риска для предприятия, если высшее руководство фирмы способно выступать в качестве координаторов проблем, а их подчиненные — в качестве «маленьких предпринимателей»; при этом предпринимательская инициатива и ответственность перемещаются с верхних в нижние эшелоны фирменной власти при исполнении иерархами действительно координаторских функций;

2) матричную ОСУ можно сохранять, если в фирме отсутствует механическое дублирование служебных инстанций и существует органичная сетевая структура с оптимальной коммуникацией;

3) дуальную ОСУ следует применять при ясности и контролируемости как ключевых связей между основными и сопутствующими структурами, так и прозрачности функций самой системы сопутствующих вторичных структур, причем они должны быть многофункциональными и многоцелевыми (типа «учебных центров»), а не специализированными, ориентированными лишь на собственные потребности;

4) параллельную ОСУ следует применять при сформированной конструктивной конкурентной культуре, сотрудничестве партнеров на базе доверия, терпимости, готовности разрешать конфликты, а в острых ситуациях иметь нейтральную «третейскую» инстанцию.

При наличии средних предприятий, состоящих из слабо интегрированных функциональных подразделений, на вторичные структуры можно возложить решение интеграционных проблем, но эффект от реализации этого механизма получится при осознании руководством подразделений создания структурной надстройки как средства поддержки их собственной позиции, а не как угрозу для их существования.

Развитие на стыке кибернетики, вычислительных сетей, менеджмента и социальной психологии направления Groupware (США), связанного с электронными информационными системами, локальными диалоговыми сетями и средствами их поддержки, обеспечивает распределенную работу больших коллективов людей в режиме прямого доступа, позволяя хранить в машинной памяти огромный объем информации (любую деловую, производственно-техническую и прочую документацию, совещания, переговоры организации и даже обычные разговоры ее сотрудников, а также всю предысторию и опыт работы), используя ее при необходимости для корректировки структуры, функций, задач, стратегии и тактики управления в деятельности конкретной организации. Такой подход по-новому раскрывает понятие обучающейся организации, обеспечивает проведение аналогий между процессами, протекающими в живых и в диалоговых компьютерных системах.

Если обучение и память обусловливают выживание живых систем, то аналогично организационное обучение и память влияют на эффективность деятельности любой организации при изменении деловой внешней среды. Обучение, как живых, так и организационных систем обязательно ведет к структурным изменениям. Организационно правильно построенная компьютерная сеть может вызывать качественный сдвиг в улучшении корпоративной деятельности. Гибкость и широта функциональных возможностей рабочих групп, реализующих управление проектами при минимуме затрат на координацию их работы, обусловливают рост и качество исполнения крупных задач, стоящих перед фирмами, необходимость оптимизации функциональных подразделений и организационных структур в целом, изменения связей между функциональными единицами в зависимости от складывающихся ситуаций.

Качество реструктуризации в живых и организационных системах определяется совокупностью унаследованного и приобретенного поведения, эффективностью обучения и памяти, организации инфраструктур, обеспечивающих совершенствование взаимосвязей и диалогов между людьми. Повышение скорости обучения и эффективности памяти организации зависит от способа управления взаимоотношениями и диалогами между людьми. Сегодня коммуникации — это координация действий, а не передача информации. Организационные инфраструктуры должны расширять возможности формирования и поддержки диалогов между людьми независимо от их традиций, культуры и др. Пример тому организация и распространение сети Internet и ей подобных.

Учет специфики моделей разновидностей СМО в практической деятельности субъектов рынка позволяет:

Провести более глубокий анализ особенностей функционирования сложных систем, оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок;

Вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации протекающих процессов, экономии финансовых и прочих ресурсов, снижению рисков в условиях неопределенности деловой внешней и внутренней среды.

Рассмотрим эти вопросы подробнее.

2. СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО).

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского уче-ного А. К. Эрланга (1878—1929), с его трудами в области проекти-рования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания - область прикладной мате-матики, занимающаяся анализом процессов в системах произ-водства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и пере-дачи информации; автоматических линиях производства и др.

Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Е. С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установ-ление зависимостей между характером потока заявок, числом ка-налов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум сум-марных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ре-сурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, напри-мер обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслу-живание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслужива-ния, обеспечение телефонных разговоров на телефонной стан-ции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание об-разуют потоки, которые до выполнения операций обслужива-ния называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки об-служивания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока за-явок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока за-явок образует простейшую систему массового обслуживания — СМО.

Одним из параметров входного потока заявок является интенсивность входящего потока заявок λ ;

К параметрам каналов обслуживания заявок относятся: интенсивность обслуживания μ , число каналов обслуживания n .

Параметрами очереди являются: максимальное число мест в очереди L max ; дисциплина очереди D («первым пришел - первым ушел» (FIFO); «последним пришел - первым ушел» (LIFO); с приоритетами; случайный выбор из очереди).

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заяв-ка на обслуживание покидает систему. Продолжительность ин-тервала времени, требуемого для реализации процедуры обслу-живания, зависит в основном от характера запроса заявки на об-служивание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, например, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой — от формы организации об-служивания и обслуживающего персонала, что может значитель-но повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания.

Под обслуживанием заявок мы будем понимать процесс удовле-творения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства.

В некоторых случаях обслуживание производится одним челове-ком (обслуживание покупателя одним продавцом), в некоторых — группой людей (обслуживание клиента в ресторане), а в некоторых случаях — техническими устройст-вами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами).

Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание за-явок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одина-ковые заявки, то каналы обслуживания называются однородны-ми.

Совокупность однородных каналов обслуживания называет-ся обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое коли-чество заявок в случайные моменты времени, длительность обслу-живания которых также является случайной величиной. Последо-вательное поступление заявок в систему обслуживания называет-ся входящим потоком заявок , а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, — выходящим потоком .

Если максимальная длина очереди L max = 0 , то СМО является системой без очередей.

Если L max = N 0 , где N 0 >0 - некоторое положительное число, то СМО является системой с ограниченной очередью.

Если L max → ∞, то СМО является системой с бесконечной очередью.

Случайный характер распределения длительности выполне-ния операций обслуживания, наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание, приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания .

Теория массового обслуживания занимается изучением про-цессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой ме-тодов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслужи-вания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания тре-бование может быть обслужено любым свободным каналом.

Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслужи-вания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществля-ется последовательно несколькими каналами обслуживания .

При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер , обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания . Например, если в магазине са-мообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли челове-ка. Под качеством функционирования системы в теории массо-вого обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполне-но обслуживание, а то, насколько полно загружена система об-служивания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь .

Работу системы обслуживания характеризуют такие показате-ли, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в ко-нечном итоге удовлетворение качеством обслуживания.

Чтобы улучшить качество функционирования системы об-служивания, необходимо определить, каким образом распреде-лить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как распо-ложить или сгруппировать каналы обслуживания или обслужива-ющие аппараты для улучшения показателей. Для решения перечисленных задач существует эффек-тивный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

Потоки событий.

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий — поступле-ния заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты вре-мени, формирует так называемый поток событий .

Примерами таких потоков являются потоки различной природы — потоки товаров, денег, документов; транспортные потоки; потоки клиентов, покупателей; потоки телефонных звонков, переговоров и др. По-ведение системы обычно определяется не одним, а сразу не-сколькими потоками событий. Например, обслуживание поку-пателей в магазине определяется потоком покупателей и пото-ком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной чертой потоков является веро-ятностное распределение времени между соседними события-ми. Существуют различные потоки, которые отличаются свои-ми характеристиками.

Поток событий называется регулярным , если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго опреде-ленные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегу-лярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зави-сит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени.

То есть стационарным называется поток , для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определен-ного количества требований в течение заданного промежутка времени?t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик; в частности, интенсивность тако-го потока есть среднее число событий в единицу времени и оста-ется величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

Отсутствие последействия означает, что число требова-ний, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток вре-мени от t до t+?t.

Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не оп-ределяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на веро-ятность возникновения обрыва на других станках.

Поток событий называется потоком без последствия , если число событий, попадающих на один из произвольно выбран-ных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой.

В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждо-го из них, не связаны с аналогичными причинами для других по-купателей.

Поток событий называется ординарным , если вероятность по-падания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попа-дания только одного события.

Другими словами, ординарность потока означает практическую невозмож-ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два (или более) сразу.

Если поток одновременно обладает свойствами стационарнос-ти, ординарности и отсутствием последствия , то такой поток назы-вается простейшим (или пуассоновским) потоком событий .

Мате-матическое описание воздействия такого потока на системы ока-зывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания (ТМО), можно условно разделить на АНАЛИТИЧЕСКИЕ и ИМИТАЦИОННЫЕ.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некото-рые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.

Имитационные методы основаны на моделировании процес-сов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения та-ких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность по-ступления за время t ровно k требований задается формулой:

Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе.

Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следователь-но, может быть описано законом распределения.

Наибольшее распространение в теории и особенно в практических прило-жениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания . Функция распределения для этого закона имеет вид:

F(t) = 1 - e - μ t , (2)

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосхо-дит некоторой величины t, определяется формулой (2), где μ — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе. То есть μ - это величина, обратная среднему времени обслуживания ? o6 . :

μ = 1/ ? o6 . (3)

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходит-ся пользоваться понятиями потоков других типов.

Поток собы-тий называется потоком Пальма , когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тn являются независимыми, одинаково распределенными, слу-чайными величинами, но в отличие от простейшего потока необязательно распределенными по показательному закону.

Про-стейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так назы-ваемый поток Эрланга . Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего пото-ка. Например, условившись учитывать только каждое второе со-бытие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д. Можно полу-чить потоки Эрланга любого k-го порядка. Очевидно, простей-ший поток есть поток Эрланга первого порядка.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Любое исследование системы массового обслуживания (СМО) начи-нается с изучения того, что необходимо обслуживать, следова-тельно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:

СМО с потерями (отказами),

СМО с ожиданием.

В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами явля-ется телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживаю-щие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди .

СМО, допускающие очередь , но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются систе-мами с ограниченным временем ожидания.

2. По числу каналов обслуживания СМО делятся на

- одноканальные ;

- многоканальные .

3. По месту нахождения источника требований

СМО делятся на:

- разомкнутые , когда источник требования находится вне системы;

- замкнутые , когда источник находится в самой системе.

Примером разомкнутой системы может служить мастерская по обслуживанию и ремонту бытовой техники. Здесь неисправные устройства — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограни-ченным.

К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, и, следовательно, источником требований на их обслу-живание , например, бригадой наладчиков.

Возможны и другие признаки классификации СМО, на-пример, по дисциплине обслуживания , однофазные и многофазные СМО и др.

3. МОДЕЛИ СМО. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СМО.

Рассмотрим аналитические модели наиболее распростра-ненных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требо-вания, поступившие в момент, когда все обслуживающие ка-налы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СОСТОИТ В СЛЕДУЮЩЕМ.

Система имеет n обслуживающих каналов , каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ .

Если в момент поступления оче-редного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Время обслуживания каждого требования t об. — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному за-кону распределения с параметром μ .

СМО С ОЖИДАНИЕМ МОЖНО РАЗБИТЬ НА ДВЕ БОЛЬШИЕ ГРУППЫ: ЗАМКНУТЫЕ И РАЗОМКНУТЫЕ.

К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен .

Например, мастер, задачей кото-рого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В по-добных системах общее число циркулирующих требования конечно и чаще всего постоянно.

Если питающий источник обладает бесконечным числом требований , то системы называются разомкнутыми.

Приме-рами подобных систем могут служить магазины, кассы вокза-лов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требо-ваний можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на исполь-зуемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемые фор-мулы Эрланга ).

1. РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ.

Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой СМО с ожиданием.

При изучении таких систем рассчитывают различные по-казатели эффективности обслуживающей системы. В каче-стве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты за-нятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр α = λ/μ . Заметим, что если выполняется неравенство α / n < 1, то очередь не может расти безгранично.

Это условие имеет следующий смысл: λ — среднее число требо-ваний, поступающих за единицу времени , 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α = λ (1/ μ) — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступаю-щие требования. Тогда μ - среднее число требований, обслуживаемых одним каналом за единицу времени.

Поэтому условие: α / n < 1, означает, что чис-ло обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования .

ВАЖНЕЙ-ШИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СМО (для разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием ):

1. Вероятность P 0 того, что все обслуживающие каналы сво-бодны:

2. Вероятность P k того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находя-щихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, то есть при 1 ≤ k ≤ n :

3. Вероятность P k того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов, то есть при k > n :

4. Вероятность Pn того, что все обслуживающие каналы заняты:

5. Среднее время ожидания требованием начала обслу-живания в системе:

6. Средняя длина очереди:

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

8. Коэффициент простоя каналов:

9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

10. Коэффициент загрузки каналов

Фирма по обслуживанию и ремонту бытовой техники и электроники имеет филиал: мастерскую по ремонту мобильных телефонов, в которой работает n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ =10 мобильных телефонов. Общее число мобильных телефонов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть основания считать, что поток заявок на ремонт ап-паратуры является случайным, пуассоновским. В свою оче-редь каждый мобильный телефон в зависимости от характера неисправ-ности также требует различного случайного времени на ре-монт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мас-тера и множества других причин. Пусть статистика показа-ла, что время ремонта подчиняется экспоненциальному за-кону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать μ = 2,5 мобильных телефона.

Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту -бытовой техники и электроники, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр

α = λ / μ = 10/ 2,5 = 4.

Так как α < n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.

2. Вероятность P 0 того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна согласно (4):

P0 = (1 + 4 + 16/2 + 64/3! + 256/4! + 1024/5!(1- 4/5)) -1 = (77) -1 ≈ 0,013.

3. Вероятность P5 того, что все мастера заняты ремонтом, находим по формуле (7) (Pn при n=5):

P5 = P0 1024 /5! (1-4/5) = P0 256 /6 ≈ 0,554.

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за-гружены работой.

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата согласно формуле (3):

? o6. = 1/ μ = 7/2,5 = 2,8 ч./аппарат (важно: единица времени - 1 рабочий день, т. е. 7 часов).

5. В среднем время ожидания каждого неисправного мобильного телефона начала ремонта равно по формуле (8):

Ож. = Pn/(μ (n-α)) = 0,554 2,8/(5 - 4) =1,55 часа.

6. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта; находим ее по формуле (9):

Оч. = 4 P5/ (5-4) ≈ 2,2 моб. телефона.

7. Определим среднее число мастеров, свободных от ра-боты, по формуле (10):

Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24+ 64/3 + 32/3) = P0 77 ≈ 1 мастер.

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.

2. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характери-стик функционирования замкнутых СМО.

Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов).

За критерий, характеризующий качество функциониро-вания рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находя-щихся одновременно в обслуживающей системе — коэффици-ент простоя обслуживаемого объекта .

В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых об-служивающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала .

Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания ; второй по-казывает полноту загрузки обслуживающей системы .

Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов обслуживания меньше наибольшего числа требований, нахо-дящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).

Приведем последовательность расчетов характеристик замкнутых СМО и необходимые формулы.

ПАРАМЕТРЫ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

1. Определим параметр α = λ / μ — показатель загрузки системы , то есть математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длитель-ности обслуживания (1/μ = ?o6.).

2. Вероятность P k того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы (то есть при m ≤ n ) :

3. Вероятность P k того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов (то есть при k > n , при этом k ≤ m ):

4. Вероятность P 0 того, что все обслуживающие каналы сво-бодны, определим, используя очевидное условие:

Тогда величина P 0 будет равна:

5. Среднее число M оч. требований, ожидающих начала обслу-живания (средняя длина очереди):

Или с учетом формулы (15)

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта):

7. Среднее число M требований, находящихся в обслуживаю-щей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

где для вычислений первой и второй суммы применяются формулы (14) и (15) соответственно.

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

где P k вычисляется по формуле (14).

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

Рассмотрим пример расчета характеристик замкнутой СМО.

Рабочий обслуживает группу автоматов, состоя-щую из 3 станков. Поток поступающих требований на обслу-живание станков является пуассоновским с параметром λ = 2 ст./ч.

Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 минут, а время обслуживания подчинено экспоненци-альному закону.

Тогда 1/μ = 0,2 ч./ст., т.е. μ = 5 ст./ч., Параметр α = λ/μ = 0,4.

Необходимо определить среднее число автоматов, ожи-дающих обслуживания, коэффициент простоя автомата, ко-эффициент простоя рабочего.

Обслуживающим каналом здесь является рабочий; так как станки обслуживает один рабочий, то n = 1 . Общее число требований не может пре-взойти числа станков, т.е. m = 3 .

Система может находиться в четырех различных состоя-ниях: 1) все станки работают; 2) один стоит и обслуживается рабочим, а два работают; 3) два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания; 4) три стоят, из них один обслу-живается, а два ждут очереди.

Для ответа на поставленные вопросы можно воспользо-ваться формулами (14) и (15).

P1 = P0 6 0,4/2 = 1,2 P0;

P2 = P0 6 0,4 0,4 = 0,96 P0;

P3 = P0 6 0,4 0,4 0,4= 0,384 P0;

Сведем вычисления в таблицу (рис. 1).






∑P k /P 0 = 3,5440	∑ (k-n)P k = 0,4875	∑k P k = 1,2053

Рис. 1. Вычисление характеристик замкнутой СМО.

В этой таблице первым вычисляется третий столбец, т.е. отношения P k /P 0 при k = 0,1,2,3.

Затем, суммируя величины по третьему столбцу и учитывая, что ∑ P k = 1, получаем 1/P 0 = 3,544. Откуда Р 0 ≈ 0,2822.

Умножая значения, стоящие в третьем столбце, на Р 0 , получаем в соответствующих строках значения четвертого столбца.

Величина Р 0 = 0,2822, рав-ная вероятности того, что все автоматы работают, может быть истолкована как вероятность того, что рабочий свобо-ден. Получается, что в рассматриваемом случае рабочий будет свободен более 1/4 всего рабочего времени. Однако это не оз-начает, что «очередь» станков, ожидающих обслуживания, всегда будет отсутствовать. Математическое ожидание числа автоматов, стоящих в очереди, равно

Суммируя значения, стоящие в пятом столбце таблицы, получим среднюю длину очереди M оч. = 0,4875. Следова-тельно, в среднем из трех станков 0,49 станка будет про-стаивать в ожидании, пока освободится рабочий.

Суммируя значения, стоящие в шестом столбце таблицы, получим математическое ожи-дание числа простаивающих станков (ремонтируемых и ожидающих ремонта): М = 1,2053. То есть в среднем 1,2 станка не будет выдавать продукцию.

Ко-эффициент простоя станка равен К пр.об. = M оч. /3 = 0,1625. То есть каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабо-чего времени в ожидании, пока рабочий освободится.

Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает с P 0 , так как n = 1 (все обслуживающие каналы свободны), поэтому

К пр.кан. = N 0 /n = 0,2822.

Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. - СПб.: Союз, 1999. - 320.

Елтаренко Е.А. Исследование операций (системы массового обслуживания, теория игр, модели управления запасами). Учебное пособие. - М.: МИФИ, 2007. - С. 157.

Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой дея-тельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финан-сы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2001. - 367 с.

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.