Для сгруппированных данных остаточная дисперсия - средняя из внутригрупповых дисперсий:

Где σ 2 j - внутригрупповая дисперсия j -й группы.

Для не сгруппированных данных остаточная дисперсия – мера точности аппроксимации, т.е. приближения линии регрессии к исходным данным:
где y(t) – прогноз по уравнению тренда; y t – исходный ряд динамики; n – количество точек; p – число коэффициентов уравнения регрессии (количество объясняющих переменных).
В этом примере она называется несмещенная оценка дисперсии .

Пример №1 . Распределение рабочих трех предприятий одного объединения по тарифным разрядам характеризуется следующими данными:

Тарифный разряд рабочего	Численность рабочих на предприятии
	предприятие 1	предприятие 2	предприятие 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Определить:
1. дисперсию по каждому предприятию (внутригрупповые дисперсии);
2. среднюю из внутригрупповых дисперсий;
3. межгрупповую дисперсию ;
4. общую дисперсию.

Решение.
Прежде чем приступить к решению задачи необходимо выяснить, какой признак является результативным, а какой – факторным. В рассматриваемом примере результативным признаком является «Тарифный разряд», а факторным признаком – «Номер (название) предприятия».
Тогда имеем три группы (предприятия), для которых необходимо рассчитать групповую среднюю и внутригрупповые дисперсии :

Предприятие	Групповая средняя,	Внутригрупповая дисперсия,
1	4	1,8

Средняя из внутригрупповых дисперсий (остаточная дисперсия ) рассчитаем по формуле:

где можно рассчитать:
либо:

тогда:
Общая дисперсия будет равна: s 2 = 1,6 + 0 = 1,6.
Общую дисперсию также можно рассчитать и по одной из следующих двух формул:

При решении практических задач часто приходится иметь дело с признаком, принимающим только два альтернативных значения. В этом случае говорят не о весе того или иного значения признака, а о его доле в совокупности. Если долю единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком, обозначить через «р », а не обладающих – через «q », то дисперсию можно рассчитать по формуле:
s 2 = p×q

Пример №2 . По данным о выработке шести рабочих бригады определить межгрупповую дисперсию и оценить влияние рабочей смены на их производительность труда, если общая дисперсия равна 12,2 .

№ рабочего бригады	Выработка рабочего, шт.
	в I смену	во II смену
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

Решение . Исходные данные

X	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	Итого
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
Итого	31	33	37	37	40	38

Тогда имеем 6 группы, для которых необходимо рассчитать групповую среднюю и внутригрупповые дисперсии.
1. Находим средние значения каждой группы .







2. Находим среднее квадратическое каждой группы .







Результаты расчета сведем в таблицу:

Номер группы	Групповая средняя	Внутригрупповая дисперсия
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. Внутригрупповая дисперсия характеризует изменение (вариацию) изучаемого (результативного) признака в пределах группы под действием на него всех факторов, кроме фактора, положенного в основание группировки:
Среднюю из внутригрупповых дисперсий рассчитаем по формуле:


4. Межгрупповая дисперсия характеризует изменение (вариацию) изучаемого (результативного) признака под действием на него фактора (факторного признака), положенного в основание группировки.
Межгрупповую дисперсию определим как:

где


Тогда

Общая дисперсия характеризует изменение (вариацию) изучаемого (результативного) признака под действием на него всех без исключения факторов (факторных признаков). По условию задачи она равна 12.2 .
Эмпирическое корреляционное отношение измеряет, какую часть общей колеблемости результативного признака вызывает изучаемый фактор. Это отношение факторной дисперсии к общей дисперсии:

Определяем эмпирическое корреляционное отношение:

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая
Коэффициент детерминации.

Определим коэффициент детерминации:

Таким образом, на 0.67% вариация обусловлена различиями между признаками, а на 99.37% – другими факторами.
Вывод : в данном случае выработка рабочих не зависит от работы в конкретную смену, т..е. влияние рабочей смены на их производительность труда не значительное и обусловлено другими факторами.

Пример №3 . На основе данных о средней заработной плате и квадратах отклонений от её величины по двум группам рабочих найти общую дисперсию, применив правило сложения дисперсий:

Решение:
Средняя из внутригрупповых дисперсий

Межгрупповую дисперсию определим как:


Общая дисперсия будет равна: 480 + 13824 = 14304

Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.

Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.

Способ 1: расчет по генеральной совокупности

Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г . Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:

ДИСП.Г(Число1;Число2;…)

Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.

Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.

Способ 2: расчет по выборке

В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:

ДИСП.В(Число1;Число2;…)

Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.

Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.

Наряду с изучением вариации признака по всей по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.
Выделяют дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую .
Общая дисперсия σ 2 измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию, .

Межгрупповая дисперсия (δ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:
.

Внутригрупповая дисперсия (σ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она вычисляется по формуле:
.

Средняя из внутригрупповых дисперсий : .

Существует закон, связывающий 3 вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии: .
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий .

В анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации (η 2): .
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (η) :
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.
Покажем его практическое использование на следующем примере (табл. 1).

Пример №1 . Таблица 1 - Производительность труда двух групп рабочих одного из цехов НПО «Циклон»

Рассчитаем общую и групповые средние и дисперсии:

Исходные данные для вычисления средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии представлены в табл. 2.
Таблица 2
Расчет и δ 2 по двум группам рабочих.

Группы рабочих	Численность рабочих, чел.	Средняя, дет./смен.	Дисперсия
Прошедшие техническое обучение	5	95	42,0
Не прошедшие техническое обучение	5	81	231,2
Все рабочие	10	88	185,6

Рассчитаем показатели. Средняя из внутригрупповых дисперсий:
.
Межгрупповая дисперсия

Общая дисперсия:
Таким образом, эмпирическое корреляционное соотношение: .

Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления следующих видов дисперсий:

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

где n i – численность единиц в отдельных группах.
Доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:
Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:
.

Это соотношение дисперсий называется теоремой сложения дисперсий доли признака.

Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений , принимаемых случайной величиной ξ , вокруг её математического ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.

D ξ = M(ξ-M ξ) 2 . (1)

Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.

называется средним квадратичным отклонением

величины ξ .

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ , то число можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.

Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».

Действительно, если

ξ = С, то Mξ = C и, значит Dξ = M(C-C ) 2 = M 0 = 0.

2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C 2

D(Cξ ) = C 2 Dξ . (3)

Действительно

D(Cξ) = M(C

= M(C .

3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:

. (4)

Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания.

Мы имеем:

4. Если величины ξ 1 и ξ 2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

Доказательство . Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ 1 = m 1 , Mξ 2 = m 2 , тогда.

Формула (5) доказана.

Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ -m ) 2 , где m = Mξ , то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.

Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения

x 1	x 2	...
p 1	p 2	...

то будем иметь:

. (7)

Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x) , тогда получим:

Dξ = . (8)

Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:

, (9)

если величина ξ дискретна, и

Dξ = , (10)

если ξ распределена с плотностью p (x ).

Пример 1 . Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [a,b ]. Воспользовавшись формулой (10) получим:

Можно показать, что дисперсия случайной величины , распределенной по нормальному закону с плотностью

p(x) = , (11)

равна σ 2 .

Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ .

Пример 2 . Найти дисперсию случайной величины ξ , распределенной по биномиальному закону.

Решение . Воспользовавшись представлением ξ в виде

ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξ n (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим

Dξ = Dξ 1 + Dξ 2 + Dξ n .

Дисперсия любой из величин ξ i (i = 1,2, n ) подсчитывается непосредственно:

Dξ i = M(ξ i ) 2 - (Mξ i ) 2 = 0 2 · q + 1 2 p - p 2 = p (1-p ) = pq .

Окончательно получаем

Dξ = npq , где q = 1 - p .

Вычислим в MS EXCEL дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.

Сначала рассмотрим дисперсию , затем стандартное отклонение .

Дисперсия выборки

Дисперсия выборки (выборочная дисперсия, sample variance ) характеризует разброс значений в массиве относительно .

Все 3 формулы математически эквивалентны.

Из первой формулы видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего , деленная на размер выборки минус 1.

дисперсии выборки используется функция ДИСП() , англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог ДИСП.В() , англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция ДИСП.Г(), англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет дисперсию для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у ДИСП.В() , у ДИСП.Г() в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция ДИСПР() .

Дисперсию выборки
=КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)
=(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) – обычная формула
=СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1 ) –

Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению . Обычно, чем больше величина дисперсии , тем больше разброс значений в массиве.

Дисперсия выборки является точечной оценкой дисперсии распределения случайной величины, из которой была сделана выборка . О построении доверительных интервалов при оценке дисперсии можно прочитать в статье .

Дисперсия случайной величины

Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, необходимо знать ее .

Для дисперсии случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]

дисперсия вычисляется по формуле:

где x i – значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение (), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.

Если случайная величина имеет , то дисперсия вычисляется по формуле:

Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг 2 . Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение .

Некоторые свойства дисперсии :

Var(Х+a)=Var(Х), где Х - случайная величина, а - константа.

Var(aХ)=a 2 Var(X)

Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)-2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

Это свойство дисперсии используется в статье про линейную регрессию .

Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y - случайные величины, Cov(Х;Y) - ковариация этих случайных величин.

Если случайные величины независимы (independent), то их ковариация равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе .

Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1) 2 Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения .

Стандартное отклонение выборки

Стандартное отклонение выборки - это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их .

По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии :

Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке , а только степень рассеивания значений вокруг их среднего . Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.

Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется Коэффициент вариации (Coefficient of Variation, CV) - отношение Стандартного отклонения к среднему арифметическому , выраженного в процентах.

В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция =СТАНДОТКЛОН() , англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог =СТАНДОТКЛОН.В() , англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.

Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция СТАНДОТКЛОН.Г() , англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет стандартное отклонение для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у СТАНДОТКЛОН.В() , у СТАНДОТКЛОН.Г() в знаменателе просто n.

Стандартное отклонение можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера )
=КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
=КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))

Другие меры разброса

Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет сумму квадратов отклонений значений от их среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =ДИСП.Г(Выборка )*СЧЁТ(Выборка ) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки (). Вычисления в функции КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:

Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса множества данных. Функция СРОТКЛ() вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка) , где Выборка - ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.

Вычисления в функции СРОТКЛ () производятся по формуле: