Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

• сложение;
• вычитание;
• умножение;
• деление.

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

• сумма - результат, получившийся при сложении чисел;
• разность - результат, получившийся при вычитании чисел;
• произведение - результат умножения чисел;
• частное - результат деления.

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

• сумма - прибавить;
• разность - отнять;
• произведение - умножить;
• частное - разделить.

Рассматривая определения , что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

И все эти определения являются верными .

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

• Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

• Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

• Уменьшаемое - это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
• Вычитаемое - это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

• Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
• Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность .

Математические действия с разностью чисел

Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

Простые примеры

• Пример 1. Найти разницу двух величин.

20 - уменьшаемое значение,

15 - вычитаемое.

Решение: 20 - 15 = 5

Ответ: 5 - разница величин.

• Пример 2. Найти уменьшаемое.

48 - разность,

32 - вычитаемое значение.

Решение: 32 + 48 = 80

• Пример 3. Найти вычитаемое значение.

7 - разность,

17 - уменьшаемая величина.

Решение: 17 - 7 = 10

Ответ: вычитаемое значение 10.

Более сложные примеры

На примерах 1-3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

• Пример 4. Найти разницу трёх значений.

Даны целые значения: 56, 12, 4.

56 - уменьшаемое значение,

12 и 4 - вычитаемые значения.

Решение можно выполнить двумя способами .

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

1) 56 - 12 = 44 (здесь 44 - получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

1) 12 + 4 = 16 (где 16 - сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

2) 56 - 16 = 40.

Ответ: 40 - разница трёх значений.

• Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

4/5 - уменьшаемая дробь,

3/5 - вычитаемая.

Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

Решение: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Ответ: 1/5.

• Пример 6. Утроить разницу чисел.

А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

Вновь прибегнем к правилам:

• Удвоенное число - это величина, умноженная на два.
• Утроенное число - это величина, умноженная на три.
• Удвоенная разность - это разница величин, умноженная на два.
• Утроенная разность - это разница величин, умноженная на три.

7 - уменьшаемая величина,

5 - вычитаемая величина.

2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 - разница чисел 7 и 5.

• Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

7 - уменьшаемая величина;

18 - вычитаемая.

Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

• Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.

Ответ: - 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

Математика для блондинок

Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок - один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее - на калькуляторе. Калькулятор - это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела - это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг - это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

• сумму - сложением слагаемых;
• произведение - умножением множителей;
• частное - делением делимого на делитель.

Вот такая интересная арифметика.

§ 43. Сложение.

Рассмотрим следующий факт: В классе числится 28 учеников. Присутствуют на уроке 25 человек и отсутствуют 3. Это можно записать при помощи сложения следующим образом:

т. е. сумма присутствующих и отсутствующих учеников равна 28. Теперь подумаем, как может пришедший в класс учитель быстро подсчитать, сколько учеников присутствует на уроке. Общее число учеников в классе ему известно из классного журнала, число отсутствующих ему скажет дежурный. Чтобы узнать, сколько учеников присутствует на уроке, учитель должен из 28 вычесть 3. Если неизвестное число присутствующих учеников обозначим буквой х , то

х + 3 = 28;

т. е. если к числу присутствующих учеников прибавить число отсутствующих, то получим число всех учеников класса. Так как мы знаем сумму и одно слагаемое, то можно найти неизвестное слагаемое:

х = 28 - 3, или х = 25.

Получаем правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из суммы двух слагаемых вычесть известное слагаемое. Приведём пример:

х + 10 = 30; х = 30 - 10; х = 20.

Пользуясь буквенными обозначениями, можно написать: если

а + b = с , то

а = с - b и b = с - а .

§ 44. Проверка сложения.

Правило, изложенное в предыдущем параграфе, позволяет проверить правильность сложения. Допустим, что мы сложили два числа: 346 + 588 = 934.

Так как одно из двух слагаемых равно их сумме минус другое слагаемое, то, вычитая из суммы 934 какое-нибудь слагаемое, например первое, мы должны получить второе слагаемое. Конечно, это будет только в том случае, если мы не сделали ошибки при сложении и не сделаем новой ошибки при вычитании.

Выполним вычитание: 934 - 346 = 588. Сложение было сделано правильно.

§ 45. Вычитание.

Задача. Я купил альбом за 25 руб. Как узнать, сколько денег у меня было до покупки альбома, если после покупки осталось 53 руб.?

Пусть у меня было х руб., я израсходовал 25 руб., и у меня осталось 53 руб. Запишем при помощи вычитания:

х - 25 = 53.

Сколько же у меня было денег первоначально? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сложить истраченные и оставшиеся деньги, т, е.

х = 25 + 53; х = 78.

Таким образом, первоначально у меня было 78 руб.

В рассмотренной задаче было неизвестно уменьшаемое, а вычитаемое и разность были известны. Чтобы найти уменьшаемое, мы к вычитаемому прибавили разность. Отсюда получаем правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность. Приведём пример:

х - 7 = 9; х = 7 + 9; х = 16.

Запишем это правило, пользуясь буквенными обозначениями; если

а - b = с ,

то правило нахождения уменьшаемого по вычитаемому и разности будет записано так:

а = b + с .

Решим ещё одну задачу: «Учащиеся работали на пришкольном участке. Сторож перед началом работы выдал каждому из них по одной лопате. Как узнать, сколько выдано лопат, если всего их было 90, а после выдачи осталось 50?

Если число выданных лопат обозначить через х , то

90 - х = 50.

Как нам найти х ? Если мы от общего числа лопат отнимем число оставшихся, то получится ответ на поставленный вопрос. Чтобы найти х , нужно из 90 вычесть 50. Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность. Это можно записать так:

х = 90 - 50; х = 40.

Приведём пример:

9 - x = 5; х = 9 - 5; x = 4.

Запишем последнее правило, пользуясь буквенными обозначениями: если а - b = с , то правило нахождения вычитаемого по уменьшаемому и разности примет вид:

b = а - с.

§ 46. Умножение.

Следовательно, каждый раз, когда нужно найти число конфет, решается такая задача:

32 а = ?

Зная х , мы можем найти число необходимых конфет. Но кладовщик, не зная числа коробок, мог бы рассуждать ещё так: я отпущу вам 4 000 конфет, потом будет видно, сколько понадобится коробок. Значит, в этом случае получится:

32 х = 4 000.

Здесь неизвестен один из сомножителей. Чтобы его найти, нужно произведение (4 000) разделить на известный сомножитель (32):

х = 4 000: 32; х = 125 (коробок).

Правило: чтобы найти неизвестный сомножитель, достаточно разделить произведение двух сомножителей на известный сомножитель.

Приведём пример:

25 х = 850; х = 850: 25; х = 34.

Запишем правило, пользуясь буквенными обозначениями: если

а b = с , то

а = с: b, b = с: а .

§ 47. Проверка умножения.

На основании изложенного в предыдущем параграфе проверка умножения может быть осуществлена следующим образом. Допустим, что выполнено умножение:

125 х 36 = 4 500.

Так как один из сомножителей равен произведению, делённому на другой сомножитель, то для проверки достаточно произведение 4 500 разделить, положим, на второй сомножитель 36. Если в результате получится первый сомножитель 125, то весьма возможно, что умножение сделано правильно:

4 500: 36 = 125.

§ 48. Деление.

Рассмотрим следующий факт. Садовник разбивает сад и делает на бумаге примерный набросок будущего расположения деревьев. Всего намечено 24 ряда деревьев. Если посадить по 35 деревьев в каждом ряду, то всего нужно будет 840 деревьев (35 х 24 = 840). Если посадить деревья более редко, то их потребуется меньше. Например, чтобы в каждом из 24 рядов получилось по 30 деревьев, достаточно 720 деревьев. Можно взять деревьев больше, чем 840, например 912, и тогда деревья будут рассажены гуще: в каждом ряду будет 38 деревьев.

Значит, каждый раз, когда нужно найти число деревьев в ряду, решается задача:

х : 24 = ?

Вместо х подставляются или 840, или 720, или 912, или другие числа.

Но садовник мог бы рассуждать иначе: по плану видно, что наиболее удачным будет такое расположение деревьев, когда в каждом ряду будет 32 дерева. Тогда получим:

х : 24 = 32.

Здесь неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель умножить на частное, т. е.

х = 32 х 24; х = 768 (деревьев).

Сделаем отсюда выводы. Буква х обозначает делимое. Чтобы его найти, мы умножили делитель на частное. Получаем следующее правило: чтобы найти неизвестное делимое, достаточно делитель умножить на частное.

Приведём пример:

х : 6 = 9; x = 6 x 9; х = 54.

Решим ещё одну задачу: «600 географических карт распределены поровну между школами района. Каждая школа получила 25 карт. Сколько школ в районе было снабжено географическими картами?»

Если неизвестное число школ мы обозначим буквой х , то

600: х = 25.

В этом равенстве неизвестен делитель. Чтобы его найти, необходимо разделить делимое на частное:

х = 600: 25; х = 24.

Отсюда сразу получается правило: чтобы найти неизвестный делитель, достаточно делимое разделить на частное.

Приведём пример:

200: х = 8; х = 200: 8; х = 25.

Обозначив делимое, делитель и частное соответственно буквами а, b, с , можем написать: а: b = с ; тогда два последних правила запишутся так:

а = b с и b = а: с .

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо ………………………………………………………….. Результат умножения двух и более множителей называется………………………………………… Чтобы найти делимое, надо ……………………………………………………………………………… Результат вычитания чисел называется ………………………………………………………………… Результат сложения двух и более слагаемых называется ……………………………………… Чтобы найти неизвестный множитель, надо…………………………………………………………. Результат деления чисел называется…………………………………………………………………. Чтобы найти уменьшаемое, надо………………………………………………………………………… Чтобы найти делитель, надо……………………………………………………………………………… Чтобы найти вычитаемое, надо…………………………………………………………………………. Чтобы найти на сколько одно число больше или меньше другого, надо………………………….……………………………………………………………………………………………………………..Чтобы найти во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо ……………………….…………………………………………………………………………………………………………………. В выражении без скобок, содержащем только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются ………………… ……………………………………………………………. В выражениях, содержащих скобки, сначала выполняются все действия ………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Периметр фигуры – это ………………………………………………………………………………… Периметр прямоугольника равен ……………………………………………………………………… Периметр квадрата равен …………………………………………………………………………………………………. Полупериметр прямоугольника – это ………………………………………………………………….. Чтобы найти сторону квадрата, надо значение его периметра………………………………………… Чтобы найти площадь прямоугольника, надо …………………………………………………………… Чтобы найти ширину прямоугольника, надо его площадь……………………………………………Чтобы найти длину прямоугольника, надо …………………………………………………………….

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть другое слагаемое.
Результат умножения двух и более множителей называется произведение.
Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное.

Результат вычитания чисел называется разность
Результат сложения двух и более слагаемых называется сумма.
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на другой множитель.
Результат деления чисел называется частным.
Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное.
Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Чтобы найти на сколько одно число больше или меньше другого, надоиз большего числа вычесть меньшее.
……………………………………………………………………………………………………………..

Чтобы найти во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

………………………………………………………………………………………………………………….

В выражении без
скобок, содержащем только сложение и вычитание или умножение и деление,
действия выполняются по порядку.………………… …………………………………………………………….

В выражениях, содержащих скобки, сначала выполняются все действия в скобках.………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Периметр фигуры – это сумма длин всех сторон.

Периметр прямоугольника равен сумме двух сторон, умноженной на 2. Р = 2* (а+в) ………………………………………………………………………

Периметр квадрата равен длина стороны, умноженная на 4………………………………………………………………………………………………….

Полупериметр прямоугольника – это длина двух сторон…………………………………………………………………..

Чтобы найти сторону квадрата, надо значение его периметра разделить на4………………………………………

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо значение длины умножить на значение ширины.
Чтобы найти ширину прямоугольника, надо его площадь разделить на длину.……………………………………………

Чтобы найти длину прямоугольника, надо его площадь разделить на ширину.…………………………………………………………….

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

Сложение:

Вычитание: прибавить вычесть разность.

Умножение:

Деление: умножить разделить на частное.

Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:

Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

• Макаренко Инна Александровна
• 30.09.2016

Номер материала: ДБ-225492

Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта «Инфоурок»

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом «Инфоурок»

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта «Инфоурок»

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Как найти неизвестное слагаемое вычитаемое уменьшаемое правило

Числовое выражение — это составленная по определенным правилам запись, в которой используются числа, знаки арифметических действий и скобки.

Пример: 7 · (15 — 2) — 25 · 3 + 1.

Чтобы найти значение числового выражения , не содержащего скобки, надо выполнить слева направо по порядку сначала все действия умножения и деления, а затем все действия сложения и вычитания.

Если в числовом выражении есть скобки, то действия в них выполняются в первую очередь.

Алгебраическое выражение — это составленная по определенным правилам запись, в которой используются буквы, числа, знаки арифметических действий и скобки.

Пример: a + b + ; 6 + 2 · (n — 1).

Если в алгебраическое выражение вместо буквы подставить числа, то мы перейдем от алгебраического выражения к числовому: например, если в выражение 6 + 2 · (n — 1) вместо буквы n подставим число 25, то получим 6 + 2 · (25 — 1).

Таким образом,
6 + 2 · (n — 1) — алгебраическое выражение;
6 + 2 · (25 — 1) — числовое выражение;
54 — значение числового выражения.

Уравнением называют равенство выражений, содержащее букву, если ставится задача нахождения этой буквы . Сама буква в этом случае называется неизвестным . Значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Пример:
х + 9 = 16 — уравнение; х — неизвестное.
При х = 7, 7 + 9 = 16 верное числовое равенство, значит, 7 — корень уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

При решении простейших уравнений используют законы арифметических действий и правила нахождения компонентов действий.

Правила нахождения компонентов действий:

1. Чтобы найти неизвестное слагаемое , надо из суммы вычесть известное слагаемое.
2. Чтобы найти уменьшаемое , надо к вычитаемому прибавить разность.
3. Чтобы найти вычитаемое , надо из уменьшаемого вычесть разность.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента равенства.

Решите уравнение 24-х-19.

В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х = 24 – 19, х=5.

В стабильном учебнике математики действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина) сначала изучается сложение, а затем вычитание.

Выражение вида 3+5 называют суммой .

Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми .

Запись вида 3+5=8 называют равенством . Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Найдите сумму чисел 4 и 6 (Ответ: сумма чисел 4 и 6 – это 10).

Выражения вида 8-3 называют разность.

Число 8 называют уменьшаемым , а число 3 – вычитаемым.

Значение выражения – число 5 также могут называть разностью.

Найдите разность чисел 6 и 4.(Ответ: разность чисел 6и4 – это 2.)

Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознания компонентов действий и употребления их названий в речи.

7. Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:

8. Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 5. найдите его значение.

9. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых разность равна2. Подчеркните их синим цветом.

10. Как называют число 4 в выражении 5-4? Как называют число 5? Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому же числу.

11. Уменьшаемое 18, вычитаемое 9. Найдите разность.

12. найдите разность чисел 11 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий сложения и вычитания:

Сложение можно проверить вычитанием:

57+8 = 65. Проверка: 65 – 8 =57

Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено верно.

Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами).

Вычитание можно проверить сложением:

63-9=54. Проверка: 54+9=63

К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено верно.

Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами.

В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания:

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Поиск вычитаемого, уменьшаемого и разности для первоклассников

Длинная дорога в мир знаний начинается с первых примеров, простых уравнений и задач. В нашей статье мы рассмотрим уравнение вычитания, которое, как известно, состоит из трёх частей: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Теперь рассмотрим правила вычисления каждого из этих компонентов на простых примерах.

Чтобы сделать юным математикам понимание азов науки проще и доступнее, представим эти сложные и пугающие термины именами чисел в уравнении. Ведь у каждого человека есть имя, по которому к нему обращаются, чтобы о чем-то спросить, что-то рассказать, обменяться информацией. Учитель в классе, вызывая ученика к доске, смотрит на него и называет по имени. Так и мы, глядя на числа в уравнении, можем очень легко понять, какое число как зовут. А после уже и обратиться к числу, чтобы правильно решить уравнение или даже найти потерявшееся число, об этом чуть позже.

Это интересно: разрядные слагаемые – что это?

Но, ничего не зная о числах в уравнении, давайте сначала с ними познакомимся. Для этого приведем пример: уравнение 5−3= 2. Первое и самое большое число 5 после того, как мы от него отняли 3, становится меньше, уменьшается. Поэтому в мире математики его так и называют - Уменьшаемое. Второе число 3, которое мы отнимаем от первого, тоже легко узнать и запомнить - оно Вычитаемое. Глядя на третье число 2, мы видим разницу между Уменьшаемым и Вычитаемым - это Разность, то, что мы получили в результате вычитания. Вот так.

Как найти неизвестные

Мы познакомились с тремя братьями:

Но бывают случаи, когда какое-то из чисел теряется или просто неизвестно. Что же делать? Все очень просто - для того, чтобы такое число найти, нам нужно знать только два других значения, а также несколько правил математики, и, конечно, уметь ими пользоваться. Начнём с самой лёгкой ситуации, когда нам нужно найти Разность.

Это интересно: что такое хорда окружности в геометрии, определение и свойства.

Как найти разность

Представим, что мы купили 7 яблок, подарили 3 яблока своей сестре и оставили какое-то количество себе. Уменьшаемое - это наши 7 яблок, число которых уменьшилось. Вычитаемое - это те 3 подаренных нами яблока. Разность - это количество оставшихся яблок. Что сделать, чтобы узнать это количество? Решить уравнение 7−3= 4. Таким образом, хотя мы и подарили 3 яблока сестре, у нас ещё осталось 4.

Правило поиска уменьшаемого

Теперь узнаем, что делать, если потерялось Уменьшаемое .

Как найти вычитаемое

Рассмотрим, что делать, если потерялось Вычитаемое . Представим, что мы купили 7 яблок, принесли домой и ушли гулять, а когда вернулись - осталось всего 4. Вычитаемым в этом случае будет то количество яблок, которое кто-то съел в наше отсутствие. Давайте обозначим это число в виде буквы Y. Получится уравнение 7-Y=4. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо знать простое правило и сделать следующее - из Уменьшаемого отнять Разность, то есть 7 -4= 3. Наше неизвестное значение отыскалось, это 3. Ура! Теперь мы знаем, сколько было съедено.

На всякий случай можно проверить наши успехи и подставить отыскавшееся Вычитаемое в исходный пример. 7−3= 4. Разность не изменилась, а значит мы сделали все правильно. Было 7 яблок, съели 3, осталось 4.

Правила очень простые, но, чтобы быть уверенными и ничего не забыть, можно поступить так - самому для себя придумать лёгкий и понятный пример на вычитание и, решая другие примеры, отыскивать неизвестные значения, просто подставляя цифры и легко находить правильный ответ. Например, 5−3= 2. Мы уже знаем, как найти и Уменьшаемое 5, и Вычитаемое 3, поэтому решая более сложное уравнение, скажем, 25-Х= 13, мы можем вспомнить наш простой пример и понять, что, чтобы найти неизвестное Вычитаемое, нужно лишь отнять от 25 число 13, то есть 25 -13= 12.

Ну вот, теперь мы познакомились с вычитанием, его главными участниками.

Мы умеем отличать их друг от друга, находить, если они неизвестны и решать любые уравнения с их участием. Пусть эти знания помогут и пригодятся вам в начале интересного и увлекательного пути в страну Математики. Удачи!

Составные задачи на нахождение уменьшаемого, вычитаемого и разности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке ученики познакомятся с составными задачами на нахождение уменьшаемого, вычитаемого и разности. Будут рассмотрены несколько составных задач (в несколько действий), в которых нужно будет найти разность, вычитаемое и уменьшаемое.

Давайте повторим определение составных задач.

Составные задачи – это задачи, в которых ответ на главный вопрос задачи требует выполнения нескольких действий.

Давайте вспомним, компонентами, какого действия является уменьшаемое и вычитаемое. Это компоненты вычитания. Результатом какого действия является разность? И разность – это тоже результат вычитания.

Решение задачи 1

Задача 1

Рис. 2. Схема задачи 1

Из схемы на рис. 2 нам видно, что целое нам известно – это 90 роз. Целое в этой задаче – уменьшаемое, которое состоит из двух частей: вычитаемого и разности. Мы видим, что вычитаемое нам пока неизвестно, но мы можем его узнать. Мы можем узнать, сколько роз в трех букетах. А неизвестное в этой задаче – разность, ее мы найдем вторым действием.

Сначала нам нужно узнать, сколько роз в трех букетах. Букеты были одинаковые, в каждом букете было 9 роз. Значит, для того чтобы узнать, сколько роз в трех букетах, нужно 9 повторить три раза, то есть 9 умножить на 3.

Сколько роз осталось? Мы ищем разность. Для того чтобы найти разность, нужно из уменьшаемого вычесть вычитаемое. Из количества роз, которое привезли в магазин, –90 – вычтем количество роз, которое в букетах, – 27. Значит, осталось 63 розы.

В задаче 1 мы находили разность. Такие задачи так и называются задачи на нахождение разности .

Решение задачи 2

Задача 2

Рис. 4. Схема задачи 2

Из схемы на рис. 4 хорошо видно, что части нам известны. Мы пока не знаем, сколько учебников на полках, но мы можем это вычислить. Мы знаем, сколько учебников пока не поставили на полки 8. А неизвестно нам целое. Целое в данном случае – это уменьшаемое. Значит, мы приступаем к задаче на нахождение уменьшаемого .

Давайте вспомним правило на нахождение уменьшаемого, если мы знаем вычитаемое и разность. Чтобы найти уменьшаемое, мы должны к разности прибавить вычитаемое. Но вычитаемое нам пока не известно, его мы и узнаем.

Если на каждой полке стоит 15 учебников и таких полок 4, то мы можем узнать, сколько учебников стоит на полках. Для этого количество учебников на одной полке – 15 – умножим на количество полок – 4. И мы определим, что на четырех полках находится 60 книг.

А восемь учебников у нас осталось, их еще не поставили на полки. Как нам узнать, сколько всего книг привезли в библиотеку? Мы к количеству учебников, которые находятся на полках, – 60 – прибавим количество учебников, которые остались, – 8 – и узнаем, что всего в школьную библиотеку было привезено 68 книг.

Решение задачи 3

Вы уже познакомились с задачами на нахождение разности и нахождение у уменьшаемого. Давайте определим, что неизвестно в задаче 3.

Задача 3

Давайте выясним, что неизвестно в данной задаче.

Рис. 6. Схема к задаче 3

Из схемы на рис. 6 видно, что целое нам известно – это количество бочонков, которое было у Винни Пуха – 10. Целое в нашей задаче – это уменьшаемое, которое нам известно. Та часть, которую он отдал Кролику, нам пока не известна, и это главный вопрос задачи. Еще мы знаем, что оставшиеся бочонки с медом Винни Пух поставил на две полки по 3 бочонка на каждую полку. Мы пока не знаем, сколько бочонков стоит на полках, но мы можем это вычислить.

В этой задаче неизвестно вычитаемое. Для того чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого, которое нам известно, вычесть разность , которая нам пока неизвестна. С нахождения разности мы начнем решение задачи.

У Вини Пуха на двух полках стоит по 3 бочонка. Как узнать, сколько бочонков стоит на полках? Для этого нужно количество бочонков на одной полке – 3 – повторить, то есть умножить на 2, так как полок было две.

Значит, из 10 бочонков 6 стоят на полках, а остальные Винни Пух подарил Кролику. Как узнать, сколько бочонков с медом Винни Пух подарил Кролику? Для этого мы воспользуемся правилом, из уменьшаемого вычтем разность, и у нас останется наше вычитаемое, которое равно 4. Значит, 4 бочонка с медом Винни Пух подарил своему другу Кролику.

Сегодня на уроке мы познакомились с новым видом задач и узнали, как нужно рассуждать, чтобы их решить правильно. На следующем уроке мы будем решать составные задачи на разностное и кратное сравнение.

Список литературы

1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2004.
2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. – М.: Астрель, 2006.
3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. – М.: Просвещение, 2012.

Домашнее задание

Какие задачи называются составными? Компонентами какого действия является уменьшаемое и вычитаемое?

Ежик собрал 28 яблок. 9 из них он отдал ежику и еще несколько белочке. Сколько ежик отдал яблок белочке, если у него осталось 12 яблок?

В банке были соленые огурцы. За завтраком съели 12 огурцов, а в обед – 21. Сколько огурцов было в банке, если в ней осталось 15 огурцов?

Туристы прошли в первый день 5 км, во второй день – 3 км. Сколько всего км им надо пройти, если осталось пройти 2 км?

Подписан закон о возможности выбора между службой по призыву и по контракту Президент РФ Владимир Путин подписал закон о возможности выбора между военной службой по призыву и по контракту. Об этом сообщается на сайте главы государства. В Федеральный закон от 28 марта 1998 г. № 53-ФЗ "О […]

Кто имеет право на накопительную пенсию? Накопительная пенсия представляет собой ежемесячную денежную выплату, назначенную в связи с наступлением нетрудоспособности лица вследствие старости. Она исчисляется исходя из суммы средств пенсионных накоплений, учтенных в специальной части […]

Какая минимальная пенсия в Московской области в 2018 году По статистике количество пенсионеров в России составляет примерно 26%, то есть это достаточно большая категория граждан. Почему-то принято считать, что в Москве и Московской области самые высокие пенсии. Однако далеко не все […]

Международное сотрудничество Российская Государственная Академия интеллектуальной собственности активно развивает международное сотрудничество с университетами, научными институтами и компаниями Среди наших партнеров: Корея, Италия, Швейцария, Франция, Болгария, Германия. Киргизия, […]

Образец заполнения заявления на разрешение на временное проживание (РВП) Разрешение на временное проживание позволяет иностранному или лицу без гражданства легально находиться на территории России. Обязательным является обращение гражданина в ФМС РФ для подачи прошения. Заявление на РВП […]

Кредиты от УБРиР: описание и условия Кредит "Пенсионный" Как уже понятно из названия программы, продукт ориентирован только на граждан пенсионного возраста. Условия кредитования максимально приближены к потребностям пенсионеров: возможна выдача большой и небольшой суммы, быстрое […]

Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.

Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.

Навигация по странице.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность .

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.

Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем : 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.

И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.

Как найти неизвестное делимое, делитель?

В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .

Покажем краткую запись решения:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .

Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .

Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.

Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное .

Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.

Решение можно оформить и так:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.

Совместное использование правил

Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.

Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2·x−7):3=2+5 ,
(2·x−7):3=7 ,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2·x=21+7 ,
2·x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Список литературы.

• Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.].- 8-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 112 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.