Основу геометрической оптики образуют четыре закона: 1) закон прямолинейного распространения света; 2) закон независимости световых лучей; 3) закон отражения света; 4) закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может служить известный опыт по прохождению света далекого источника сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны.

Луч света распространяется прямолинейно, если на пути его распространения среда однородна, абсолютный показатель преломления среды везде одинаков. Однако, если показатель преломления среды плавно изменяется на трассе луча, траектория луча света искривляется (рис.1.2), причём луч смещается в сторону увеличения показателя преломления.

Рассмотрим ход лучей (рисунок 1.3), идущих от точки С (С- это точка, лежащая на Солнце, которое почти спряталось за горизонт). Луч искривляется, так как каждый последующий слой атмосферы имеет больший показатель преломления и в каждом последующем слое луч света приближается к перпендикуляру восстановленному в точку падения. Наблюдатель, находящийся в точке А, видит изображение Солнца в точке С 1 . Зашедшее Солнце за счет преломления остается видимым еще несколько минут, поэтому продолжительность дня оказывается на 7-8 минут больше, чем она была бы в отсутствии преломления. Сплюснутая форма Солнца при восходе и заходе объясняется, тем, что лучи, идущие от разных частей Солнца отклоняются от прямой линии на разные углы.

Рис.1.4

Рис.7

Миражи связаны с тем, что абсолютный показатель преломления в разных атмосферных слоях оказывается разным. Обычно наблюдается верхний или нижний мираж. Нижний мираж наблюдается в пустынях и в степях в теплое время года, когда прилегающий к земной поверхности слой воздуха сильно нагрет, а его плотность и показатель преломления быстро возрастают с высотой. На рисунке 1.4,а показано каким образом горячий песок позволяет видеть макушку дерева А. Луч света n преломляется при прохождении вниз от холодного к нагретому воздуху, следовательно, угол преломления будет возрастать, а линия, по которой свет распространяется, искривляется (рис.1.5. В точке В луч света испытает полное внутреннее отражение, преломленный луч исчезнет. Вся световая энергия сосредотачивается в отраженном луче, поэтому луч как бы изменил свое направление.

Рис.1.5

Поэтому, когда он попадает в глаз наблюдателя, то кажется, что он исходит из точки А ¢ , а не точки А.

Верхний мираж может наблюдаться близ воды. Так как около поверхности воды может находиться слой холодного воздуха, над которым расположен слой теплого воздуха.

В результате отдаленный корабль на море может казаться плавающим в небе, как показано на рисунке 1.4б., так как лучи света описывают большую дугу и возвращаются вниз за десятки километров от источника. С Лазурного берега иногда можно увидеть Корсику, расположенную за 200 километров оттуда. Жители бельгийского города Вервье в 1815 году увидели в небе целую армию. За сто километров от этого города в это утро произошла битва при Ватерлоо.

Закон независимости световых пучков утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга. Пересечения лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга.

Если две изотропные среды с разными показателями преломления соприкасаются друг с другом, то между ними образуется граница раздела этих сред. Луч света, попадая на эту границу, частично отражается, частично преломляется (см. рис.1.6)

Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.

Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для двух данных сред и равна отношению абсолютного показателя преломления второй среды относительно показателя преломления первой среды:

(1.8)

Закон преломления был экспериментально установлен голландским ученым В. Снеллиусом (1621 г.)

Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой физике. Согласно волновым представлениям, преломление является следствием изменения скорости распространения волн при переходе из одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости их распространения во второй среде υ 2:

Рис 1.6 иллюстрирует законы отражения и преломления света.

Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма в середине 17 столетия. Из этого принципа вытекают законы прямолинейного распространения света, отражения и преломления света. В формулировке самого Ферма принцип гласит, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время.

Рис.1.7

Пусть луч распространяется из точки 1 в точку пространства 2 (рис.1.7). Разобьем траекторию распространения света на прямолинейные участки, на которых показатель преломления будет константой, тогда чтобы свету пройти путь требуется время

,

Следовательно, время, затрачиваемое светом на прохождение пути 1-2 равно

Величина имеет размерность длины и эту величину называют оптическим ходом луча или оптической длиной пути света

В однородной изотропной среде оптическая длина пути света равна

Пропорциональность времени t прохождения оптической длине пути луча L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого экстремальна. Из принципа Ферма вытекает обратимость хода световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света из точки 2 в точку 1.

С помощью принципа Ферма можно доказать законы геометрической оптики, например, закон преломления света.

Возьмите литровую банку и монету. Положите монету под дно пустой банки. Она видна как сверху, так и через боковую стенку банки. Теперь налейте в банку воду. Монета видна сверху, но не видна через боковую стенку банки. Почему? Положите монету внутрь банки с водой. Что изменилось и почему?

Пьер Ферма сформулировал принцип (то есть, общее утверждение), которому подчиняется распространение света в различных средах. Принцип, как и аксиома не доказывается. Из него получаются следствия, которые проверяются опытным путем. Сформулируем его.

Пусть свет распространяется между двумя точками по некоторому пути. На элементе пути ΔS скорость света равнялась v. Она может быть различна на разных участках. Тогда затраченное на этот участок время Полное время распространения света равно сумме времен, потраченных на все участки. На математическом языке это записывается как Ферма предположил, что это время должно быть минимальным из возможных . То есть, перебрав все траектории, соединяющие начальную и конечную точку, мы должны найти ту, время движения света по которой минимально. Именно по этому пути «пойдет» световой луч. Величина называется оптической длиной пути . Величину n нельзя вынести за знак суммы, потому что она может быть различной на разных участках пути. Именно оптическая длина пути, а не геометрическая длина, должна быть наименьшей. Отсюда же следует принцип изохронизма световых лучей. Если из точки А в точку В свет распространяется по нескольким путям, то время распространения по ним одинаково.

Попробуем получить из этого принципа аксиомы геометрической оптики.

Прямолинейное распространение луча в однородной среде. Если луч движется из А в В без отражений в среде с постоянным показателем преломления n, то Это означает, что нужно выбрать путь из А в В минимальной геометрической длины . Ясно, что это будет прямая линия.

Закон зеркального отражения. Пусть свет пришел из А в В, испытав отражение в плоском зеркале.

Найдем точку О на зеркале, в которой произошло отражение. Отразив в зеркале точку В и получив точку В’, приходим к выводу, что длина ломаной AOB’ равна длине AOB. Очевидно, что AOB’ минимально по длине, когда это прямой отрезок. Получаем два вертикальных угла, один из которых обозначен двумя дугами, поэтому углы падения и преломления, обозначенные одной дугой, также должны быть равны. Точка О должна лежать в той вертикальной плоскости, в которой лежат перпендикуляры, опущенные из А и В на отражающую плоскость (иначе путь АОВ удлинится). Поэтому лучи АО и ОВ лежат в одной плоскости с перпендикуляром, опущенным в точку О.

Преломление луча на плоской границе. Пусть точки А и В лежат в средах, с показателями преломления n 2 и n 1 (n 2 >n 1), разделенные плоской границей. Легко сообразить, что в этом случае прямая АВ уже не будет соответствовать наименьшему времени. Поскольку, если мы сдвинем точку, в которой свет переходит из первой среды во вторую слегка налево, то путь, который свет пройдет в «медленной среде» сократится. А путь, пройденный в «быстрой» (имеющей меньший n) примерно на столько же удлинится. Результирующее время уменьшится. И так мы будем двигаться налево до тех пор, пока укорачивание времени в верхней среде не будет полностью компенсироваться удлинением его в нижней.

Второй рисунок показывает эту ситуацию. Если мы переместимся влево на малое расстояние вдоль границы A 1 A 2 , то геометрический путь в верхней среде сократится на A 2 B 2 , а оптический на n 2 A 2 B 2 , в нижней среде геометрический путь удлинится на A 1 B 1 , а оптический на n 1 A 1 B 1 . Мы достигнем минимума времени, если оптическую длину пути уже нельзя будет уменьшать такими шажками. То есть, укорачивание верхнего оптического пути равно удлинению нижнего n 1 A 1 B 1 =n 2 A 2 B 2 . По чертежу мы видим, что и где углы обозначены одной и двумя дугами соответственно. Из равенства получим выполнение принципа Ферма приводит к известному закону преломления светового луча на границе разных сред.

Принцип Ферма представляет собой пример используемых в теоретической физике вариационных принципов. Для каждой траектории вычисляется определенная величина (в нашем случае – оптическая длина пути), после чего ищется такая траектория, на которой эта величина принимает минимальное (или максимальное) значение. Именно эта траектория и будет истинной. Подобно законам сохранения, вариационные принципы накладывают ограничения на происходящие события, делая их течение определенным. Почему законы сохранения и вариационные принципы «работают» - вопрос того же сорта, что и «Почему все тела притягиваются друг к другу всемирным тяготением».

Принцип Ферма – одна из наиболее важных теорем геометрической оптики. Несмотря на то, что он не используется непосредственно при расчете оптической системы (как, например, ), этот принцип используется для получения результатов, которые будет невозможно или очень сложно получить другим образом.

Этот принцип можно сформулировать следующим образом.

На рисунке 1.4 показан физически возможный путь лучей от точки до точки . Пусть длины отрезков вдоль луча будут равны .

Рисунок 1.4 – Оптическая длина пути.

Определим оптическую длину пути в любой среде как произведение пройденного лучом расстояния и коэффициента преломления:

(1.7)

где квадратные скобки использованы для того, чтобы различить оптическую длину пути от геометрического расстояния.

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, вдоль физически возможного пути луча – величина постоянная. Например, в простом случае плоской преломляющей поверхности (рисунок 1.5).

Рисунок 1 .5. Пример принципа Ферма.

У нас здесь есть луч, проходящий через две точки и . Предполагается, что преломляющая поверхность пересекается лучом в точке . По принципу Ферма, если мы запишем выражение для оптической длины пути как функцию от , а затем продифференцируем по относительно , то точка где дифференциал будет равен нулю совпадет с точкой . Это значит, что луч выбрал для своего пути кротчайшее расстояние.

Век XVII был ознаменован бурным развитием в Европе специального раздела физики - оптики. Были открыты для света законы отражения и преломления, а принцип Ферма показал, почему они имеют соответствующий математический вид. Разберемся подробнее, что собой представляет этот принцип.

Явления преломления и отражения

Под отражением понимают явление, при котором свет, распространяясь в прозрачном для него веществе, встречает на своем пути препятствие и резко изменяет свою траекторию. Препятствием может быть любое: жидкое или твердое тело, прозрачное и непрозрачное.

Явление отражения было известно с глубокой древности. Согласно историческим свидетельствам, законы отражения уже были сформулированы еще до нашей эры. А в первом веке нашей эры египетский философ Герон Александрийский высказал идею о траектории света, которую впоследствии использовал француз Пьер Ферма при формулировке своего принципа.

Явление преломления заключается в изломе прямой линии, по которой движется свет, при пересечении им поверхности, разделяющей два прозрачных материала. Заметим, что в случае отражения луч движется в одном прозрачном материале или, как принято говорить, в одной среде.

Первая формулировка законов преломления приписывается персидскому математику X века, некоему Ибну Сахлю, который в своих работах опирался на труды Клавдия Птолемея (I-II века н. э.). На рубеже конца XVI - начала XVII веков голландский ученый Снелл, обобщив результаты многих экспериментов со светом, сформулировал в математическом виде 2-й закон преломления, который в настоящее время носит его фамилию. Снелл свою формулировку привел в терминах расстояний, а не углов, как это принято сейчас. Современный вид закону преломления придал уже Рене Декарт.

Законы распространения света в прозрачных средах

Перед тем как переходить к рассмотрению принципа Ферма, законы преломления и отражения света следует сформулировать. Для каждого из этих явлений принято выделять по два закона. Ниже они попарно объединены:

1. Траектория луча, когда он пересекает границу раздела двух сред, всегда лежит в одной плоскости с нормалью, проведенной к плоскости этой границы. Возможная траектория луча формируется в общем случае из трех частей: падающий луч, преломленный и отраженный.
2. Если угол между падающим лучом света и нормалью назвать θ 1 , аналогичный угол, но уже для отраженного луча, записать как θ 2 , а преломленный - θ 3 , тогда 2-й закон будет иметь вид:

В этих формулах n 1 и n 2 - это показатели преломления в прозрачных средах 1 и 2. Показатель преломления, согласно определению, вычисляется так:

Здесь v и c - скорости движения луча света в среде и в вакууме.

Формулировка принципа Ферма

Пьер Ферма был одним из известных математиков и юристов Франции в первой половине XVII века. Принцип, который носит его фамилию, он сформулировал в 1662 году, то есть спустя полвека после открытия Снеллом своего закона для преломления.

Кратко принцип Ферма может быть сформулирован так: свет при движении в абсолютно любых прозрачных средах выбирает такую траекторию, которую он пройдет за наименьшее время.

По сути, эта формулировка ничем не отличается от той, что сделал Герон Александрийский полторы тысячи лет ранее для явления отражения. Тем не менее француз сделал ее общей для всех явлений, связанных со светом, и показал, как из этого принципа могут быть получены законы преломления и отражения.

Вывод 1-го закона отражения

Пользуясь принципом Ферма, законы отражения получим математически. Для этого рассмотрим рисунок ниже.

Здесь показано, что луч выходит с точки S, которая лежит на оси y. Затем он отражается от плоскости xz в некоторой неизвестной точке M. После отражения луч движется к точке P, лежащей на плоскости xy. Выбранное положение точек S и P не влияет на общность дальнейших рассуждений, а лишь упрощает математические выкладки.

Итак, запишем координаты каждой точки:

Координаты положения точек S и P известны. Задача состоит в том, чтобы найти такую точку M, которая будет соответствовать реальной траектории SMP, пройденной световым лучом. Также будем полагать, что рассматриваемое пространство является однородным, то есть скорость света в любой точке является постоянной величиной.

Согласно принципу Ферма, траекторию SMP свет пройдет за наименьшее время, если она будет наиболее короткой из всех возможных. Запишем ее длину:

SM = √(x 2 + y S 2 + z 2); MP = √((x-x P) 2 +y P 2 +z 2);

SMP = √(x 2 + y S 2 + z 2) + √((x-x P) 2 +y P 2 +z 2).

Чтобы вычислить минимальную длину SMP, необходимо найти частные производные по x и z (неизвестные координаты точки M) и приравнять к нулю полученные результаты.

Сначала найдем частную производную по z. Имеем:

∂(SMP)/∂z = z/√(x 2 + y S 2 + z 2) + z/√((x-x P) 2 +y P 2 +z 2) = 0.

Это равенство имеет единственный корень, когда z = 0. Иными словами, точка M лежит на оси x, то есть в той же плоскости, что и точки P и S (плоскость xy). Откуда следует, что восстановленная нормаль к плоскости xz, в которой, по условию задачи, находится точка M, будет лежать вместе с SM и MP в одной плоскости (xy). Это и есть 1-й закон отражения.

Вывод 2-го закона отражения

Продолжим производить вычисления предыдущего пункта. Как было сказано, теперь необходимо найти частную производную по x. Имеем:

∂(SMP)/∂x = x/√(x 2 + y S 2 + z 2) + (x-x P)/√((x-x P) 2 +y P 2 +z 2) = 0.

Последнее равенство запишем в виде:

x/SM + (x-x P)/MP = 0 =>

x/SM = (x P -x)/MP.

Полученные отношения в каждой части равенства - это синусы углов с вершиной в точках S и P. Если восстановить теперь нормаль к плоскости xz через точку M, то отмеченные углы будут соответствовать углам падения (между SM и нормалью) и отражения (между MP и нормалью).

Таким образом, следуя принципу Ферма, мы получили также 2-й закон отражения света.

Вывод закона преломления Снелла

Теперь покажем, как можно вывести из принципа Ферма закон преломления света. Для этого рассмотрим рисунок, похожий на предыдущий.

Для простоты будем рассматривать случай в плоскости xy. Выпишем координаты источника S и приемника P света, которые находятся в разных средах:

Найдем неизвестную координату точки M. Координата y=0 для нее точно известна, поскольку именно на границе сред (ось x) меняется скорость распространения света. Длины отрезков SM и MP равны:

SM = √(x-x S) 2 + y S 2);

MP = √(x P -x) 2 + y P 2).

Общее время, которое затратит свет на прохождение траектории SMP, будет равно:

Здесь v 1 , v 2 - скорости луча в соответствующих средах. Чтобы найти минимальное время движения, следует взять полную производную по переменной x и приравнять ее к нулю. Получаем:

dt/dx = (x-x S)/(√(x-x S) 2 + y S 2)*v 1) - (x P -x)/(√(x P -x) 2 + y P 2)*v 2) = 0 =>

(x-x S)/(SM*v 1) = (x P -x)/(MP*v 2).

Используя функции синусов угла падения θ 1 и преломления θ 3 , получаем:

sin(θ 1)/v 1 = sin(θ 3)/v 2 .

Чтобы привести полученное равенство к закону Снелла в удобном виде (через показатели преломления сред), необходимо помножить левую и правую части на скорость света c.

Таким образом, применение принципа Ферма позволяет легко вывести законы для основных явлений движения светового луча в прозрачных материалах.

Движение света в неоднородной среде

Рассмотренные выше случаи предполагают, что материал является гомогенным, и световой луч при движении в нем скорость свою сохраняет. В случае же негомогенных сред справедливо равенство:

Этот интеграл берется вдоль траектории следования света. Дифференциал dl - это отрезок пути, для которого среда сохраняет свою однородность. Величина n(x,y,z) - это локальный показатель преломления.

Отмеченный интеграл принято называть интегралом оптического пути. Принцип Ферма для оптического пути предполагает нахождение экстремумов для L.

Обобщенная формулировка рассматриваемого принципа

Принцип минимального времени для движения света является частным для более общей формулировки. В настоящее время обобщенный принцип Ферма формулируют так: свет выбирает во время движения такую траекторию, которая соответствует экстремумам оптического пути.

Экстремумами функции, согласно математическому определению, являются минимум, максимум и точка перегиба. Общий принцип Ферма удовлетворяет всем этим значениям, то есть траектория света не обязательно будет минимальной, она может быть и максимальной, и соответствующей точке перегиба оптического пути.

Бытовая аналогия с рассматриваемым принципом

Общий принцип Ферма, в свою очередь, является частным случаем так называемого принципа наименьшего действия. Здесь не будем приводить соответствующие определения и их математические формулировки, однако покажем, где можно применить предложенный французом принцип.

Используется он при решении простой, на первый взгляд, бытовой задачи: допустим, вблизи пляжа в море тонет человек. Как должен двигаться спасатель, находящийся на берегу, чтобы спасти утопающего? Конечно же, он должен прийти на помощь за наименьшее время. Поскольку скорость движения спасателя по пляжу больше, чем по воде, ему следует пробежать некоторое расстояние по берегу, а лишь затем прыгнуть в воду и поплыть. То есть задача сводится к применению принципа Ферма, где роль светового луча играет спасатель.

Отметим, что решение этой задачи не является простым, поскольку в его процессе появляются уравнения 4-й степени.

Таким образом, принцип Ферма - это инструмент получения основных законов распространения света. Однако он не является фундаментальным. Можно сказать, что он следует из принципа Гюйгенса об источниках вторичных сферических волн.

Кикоин А.К. Принцип Ферма //Квант. - 1984. - № 1. - С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Основу геометрической оптики, которая оперирует понятием «световой луч», составляют три закона - законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В давние времена, когда были сформулированы эти законы, вопрос о природе света еще не стоял, и за понятием «луч» не скрывалось ничего физически реального.

В 20-х годах XIX в. было выяснено, что свет - это волна. Луч света стал просто прямой, перпендикулярной волновой поверхности и указывающей направление распространения световой волны. На основе волновых представлений можно легко получить законы отражения и преломления света. Так это и сделано в учебнике «Физика 10» (§§ 37 и 65). Однако в конце XIX - начале XX вв. стало ясно, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами тоже. С точки зрения корпускулярной (квантовой) природы свет представляет собой поток элементарных световых частиц - фотонов. В однородной среде луч можно считать траекторией движения фотонов.

Но интересно, что задолго до этого был сформулирован удивительный принцип, из которого прямо следуют все основные законы распространения света. Принцип этот, найденный французским математиком Пьером Ферма (1601-1665) около 1660 года, гласит: из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которому время прохождения наименьшее .

Из принципа Ферма (так его обычно называют) следует, что в однородной среде (в такой среде скорость света всюду одинакова) свет должен распространяться прямолинейно: прямая - кратчайшее расстояние между двумя точками, следовательно, и время распространения - наименьшее.

Покажем теперь, что закон отражения света - тоже прямое следствие принципа Ферма.

Закон отражения света

Пусть ММ - плоское зеркало. В точке А находится источник света, и нас интересует, по какому пути свет, отразившись от зеркала, приходит из точки А в точку В (рис. 1).

На рисунке 1 показаны некоторые из возможных путей - АА’В , АСВ , АВ’В . Таких «маршрутов» для света можно изобразить бесчисленное множество. Они различны по длине, так что на их прохождение требуется различное время. Оно зависит от того, в какую точку зеркала упадет луч и, отразившись, направится в В .

Из простых геометрических соображений легко выяснить, куда именно должен упасть луч, чтобы время его прохождения по «маршруту» точка А - зеркало - точка В было наименьшим. На рисунке 2 представлен один из возможных путей - АСВ .

Опустим из точки В перпендикуляр на зеркало ММ и продолжим его по другую сторону зеркала до точки В’ , отстоящую от зеркала на расстоянии |ОВ’ | = |ОВ |. Проведем линию СВ’ . Получившиеся треугольники СОВ и СОВ’ равны друг другу, так как они прямоугольные, сторона ОС у них общая и |ОВ | = |ОВ’ |. Следовательно, |CВ | = |CВ’ |, откуда следует, что длина пути луча АСВ равна сумме длин от А до точки С падения луча на зеркало и от этой точки до токи В . Ясно, что эта сумма будет наименьшей, если точка С будет лежать на прямой, соединяющей точки А и В’ (рис. 3).

Тогда и сумма длин |АС | и |СВ |, то есть длина всего пути света, будет наименьшей, Наименьшим будет и время прохождения светом этого пути.

Из рисунка 3 видно, что ∠ ВСО = ∠ В’СО (треугольник ВСВ’ равнобедренный, поэтому СО - биссектриса угла при вершине), а ∠ В’СО = ∠ АСМ (как вертикальные). Это значит, что углы наклона падающего и отраженного лучей к зеркалу равны друг другу. В этом и состоит закон отражения света. Принято, однако, отсчитывать углы не от плоскости зеркала, а от нормали к ней в точке падения. Но ясно, что если равны углы i и i’ , то равны и углы α и γ - Закон отражения обычно записывается в виде

\(~\alpha = \gamma\) .

Закон этот, как мы видим, - следствие того, что свет как бы «выбирает» путь, который проходится за наименьшее время. Нетрудно видеть, что из принципа Ферма следует и утверждение, что луч падающий, луч отраженный и нормаль к зеркалу в точке падения лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то путь был бы длиннее и требовал бы большего времени.

Отметим еще одну важную особенность, связанную с отражением света от зеркала. Если в точке А (см. рис. 3) находится источник света, а в точке В - глаз, то глаз воспримет свет так, как будто бы источник света находится не в А , а в А’ , а зеркала вовсе нет. Если зеркало убрать, а источник перенести из А в А’ , то глаз не заметит такой замены.

Закон преломления света

Из принципа Ферма можно получить и закон преломления света (точнее - световых лучей). Здесь речь идет о переходе света из одной среды (среда I на рисунке 4) в другую (среда II ) через границу раздела между ними. Различие сред состоит в том, что в них различны скорости распространения света.

Мы рассмотрим случай, когда среда I - это вакуум, в котором скорость света равна с , а вторая среда - какое-то прозрачное вещество (например, стекло, вода и т. д.), в котором скорость света υ меньше, чем с : с > υ .

Между точками А в среде I и В в среде II также мыслимы бесчисленное множество путей, но, согласно принципу Ферма, свет «выбирает» тот из них, для прохождения которого нужно наименьшее время. Ясно, например, что путь АА’В не есть такой путь, потому что здесь свет проходит короткое (кратчайшее) расстояние в среде с большой скоростью и большое расстояние в среде с малой скоростью. Быть может, выгоднее путь АВ’В ? Здесь свет в среде с малой скоростью проходит минимальную часть пути, а наибольшая часть приходится на среду с большой скоростью. Но есть ли именно этот путь самый выгодный в смысле экономии времени? Может быть, выгоднее несколько удлинить путь в среде II с тем, чтобы сократить путь в среде I ? Словом, нужно найти, в какой точке свету (лучу) нужно пересечь границу раздела двух сред, чтобы время прохождения от А к В было наименьшим. Ясно, что эта точка лежит где-то между А’ и В’ (включая, возможно, и самую точку В’ ).

Обозначим расстояние между А’ и В’ через d . Если нужная нам точка С пересечения границы раздела находится на расстоянии х от А’ , то от В’ она отстоит на расстоянии d - х (см. рис. 4). Путь АС , проходимый светом в среде I , равен \(~\sqrt{y^2_1 + x^2}\), а время прохождения этого пути

\(~t_1 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c}\) .

Путь СВ , проходимый светом в среде II , равен \(~\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}\), а время, нужное для прохождения этого пути,

\(~t_2 = \frac{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}{\upsilon}\) .

Общее время t определяется равенством

\(~t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}{\upsilon}\) . (1)

Время t зависит только от х - координаты точки падения луча, так как величины y 1 , y 2 , с , υ и d - постоянные, то есть одинаковые при всех значениях х . Вот нам и нужно найти, при каком значении х время t будет наименьшим. Средствами обычной алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при том значении х , при котором t минимально, производная функции, стоящей в правой части уравнения (1), равна нулю .

Это приводит нас к такому условию для х :

\(~\frac{x}{c\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \frac{d - x}{\upsilon \sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}\) . (2)

Из рисунка 4 видно, что

\(~\frac{x}{\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \sin \angle A"AC = \sin \alpha ; \frac{d - x}{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}} = \sin \angle CBB" = \sin \beta\) .

где α - угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела в точке падения (угол падения) и β - угол между этой нормалью и преломленным лучом (угол преломления). Условие (2) принимает поэтому вид:

\(~\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{\upsilon}\) или \(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{\upsilon}\) .

В этом и заключается закон преломления для нашего случая: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения света в вакууме и в среде, которая с ним граничит. Отношение \(~\frac{c}{\upsilon}\) - величина постоянная, характерная для данной среды. Она называется показателем преломления вещества и обозначается буквой n , так что

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n\) .

В общем случае, когда свет переходит из произвольной среды, в которой скорость света равна υ 1 , в среду со скоростью света в ней υ 2 , закон преломления имеет вид

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = n_{21}\) ,

где n 21 - относительный показатель преломления сред 2 и 1 .

Принцип Ферма справедлив, конечно, не только для тех простейших примеров отражения и преломления света, которые мы здесь рассмотрели. С помощью этого принципа можно понять и точно рассчитать ход лучей и в призме, и в линзе и в любой самой сложной системе призм, линз, зеркал.