После расчетов необходимо определить на каком лаге коэффициент будет максимальным (как правило, это первый лаг) и оценить его значимость. Предпосылкой для решения данной задачи является возможность проявления ошибки репрезентативности при анализе выборочных данных. Проверяется статистическая гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции равен нулю (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции является следствием проявление случайной ошибки репрезентативности). Альтернативная гипотеза: генеральный коэффициент автокорреляции отличен от нуля (следовательно, полученное значение выборочного коэффициента автокорреляции может рассматриваться как оценка неизвестного генерального коэффициента автокорреляции по выборочным данным). Гипотезы проверяются через расчет t-критерия Стьюдента и сравнение расчетного значения с теоретическим.
Где r – коэффициент автокорреляции, σ r – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции.
Ошибка рассчитывается следующим образом:
Где n – число уровней ряда
Теоретическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и числе степеней свобод 12 равно 2,17
Расчетное значение критерия превосходит теоретическое (16,69 против 2,17), следовательно коэффициент автокорреляции на первом лаге признается значимым.
Наличие высокой автокорреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида
(один из видов модели регрессии). Такая модель называется авторегрессией и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.
Практика показывает, что часто в отклонениях от тренда сохраняется автокорреляция. Прежде чем приступить к расчету коэффициента корреляции по остаткам, необходимо проверить наличие в них автокорреляции. Проверяемая статистическая гипотеза (H0:) формулируется следующим образом:
H0: автокорреляция в анализируемом динамическом ряду отсутствует.
Наиболее распространенным статистическим критерием оценки автокорреляции в отклонениях от тренда, является критерий Дарбина – Уотсона (d0 ), статистика критерия определяется по следующей формуле:
,
где – случайные отклонения от тренда .
Значение критерия изменяется в интервале от «0» до «4». При 0 < d < 2 - автокорреляция положительная,
если 2 < d < 4 – автокорреляция отрицательная.
Близость величины критерия к «2» говорит об отсутствии или несущественной автокорреляции. Оценки, получаемые по критерию «d», являются интервальными. Существуют таблицы распределения значений критерия Дарбина – Уотсона, составленные для различных уровней значимости. Таблицы составлены с учетом числа наблюдений в динамическом ряду и числа переменных в уравнении тренда.
По таблице в каждом конкретном случае находят нижнюю ( ) и верхнюю ( ) границы критерия. Результат сравнения расчетного значения с табличным интерпретируется следующим образом:
1. > , - H0 - принимается;
2. < , - H0 - отвергается;
3. , необходимо дальнейшее исследование (например, по более протяженному временному ряду).
Для проверки остатков на наличие автокорреляции можно просто рассчитать коэффициенты автокорреляции по остаткам. Данная задача решается аналогично задаче оценки автокорреляции динамических рядов. Единственное отличие: исходные данные в этом случае – это остатки по оптимальному тренду (берутся из отчетов)
Отсутствие автокорреляции в остатках определяется по величине коэффициента (меньше 0,5 – автокорреляция отсутствует). Решение данной задачи дополнительно подтверждает качество выбора тренда.
Кросс-корреляция динамических рядов – это корреляционная зависимость между динамическими рядами с заданным временным смещением (лагом). Внимание! Расчет коэффициентов кросс-корреляции проводится по остаткам с оптимальных трендов по динамическим рядам. Необходимость исключения трендовой составляющей динамического ряда объясняется тем, что при коррелировании уровней однонаправленных рядов значительно искажаются (завышаются результаты расчетов).
Остатки по двум динамическим рядам берутся из отчетов по оптимальным трендам.
Смещение (лаг) задается по аналогии с задачей автокорреляции.
Вторым отличием является необходимость рассмотрения прямой и обратной зависимости.
Последовательность задания исходных данных значения в данном случае не имеет, так как в любом случае рассматривается прямая зависимость – импорт к экспорту, и обратная – экспорт к импорту соответственно.
Третье отличие - на нулевом лаге смещение не задается
По полученным коэффициентам кросс-корреляции строится коррелограмма
По аналогии с решением задачи автокорреляции необходимо оценить значимость максимального коэффициента кросс-корреляции (как правило, это коэффициент на нулевом лаге).
Наличие высокой кросс-корреляции в сочетании со значимостью коэффициента дает нам возможность рассмотреть регрессионную модель вида
(в качестве модели регрессии выбирается оптимальный тренд. В данном случае линейный). Такая модель называется регрессионной моделью с включением фактора времени) и позволяет решать задачу экстраполяции и прогнозирования.
Уровни второго динамического ряда с заданным смещением на величину лага
Краткая теория
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного рада. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты () и циклической (сезонной) компоненты ().
Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой , сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативный модели выглядит так:
Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой , сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений и для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений или .
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Пример решения задачи
Условие задачи
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
1. Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
2. Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
3. Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
Чтобы решение задачи по эконометрике было максимально точным и верным, многие недорого заказывают контрольную работу на этом сайте. Подробно (как оставить заявку, цены, сроки, способы оплаты) можно почитать на странице Купить контрольную работу по эконометрике...
| 1 | 5.5 | 9 | 8.2 | 2 | 4.8 | 10 | 5.5 | 3 | 5.1 | 11 | 6.5 | 4 | 9.0 | 12 | 11.0 | 5 | 7.1 | 13 | 8.9 | 6 | 4.9 | 14 | 6.5 | 7 | 6.1 | 15 | 7.3 | 8 | 10.0 | 16 | 11.2 |
Решение задачи
1) Построим поле корреляции:
Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу:
| 1 | 5.5 | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 2 | 4.8 | 5.5 | -2.673 | -1.593 | 4.260 | 7.147 | 2.539 | 3 | 5.1 | 4.8 | -2.373 | -2.293 | 5.443 | 5.633 | 5.259 | 4 | 9 | 5.1 | 1.527 | -1.993 | -3.043 | 2.331 | 3.973 | 5 | 7.1 | 9 | -0.373 | 1.907 | -0.712 | 0.139 | 3.635 | 6 | 4.9 | 7.1 | -2.573 | 0.007 | -0.017 | 6.622 | 0.000 | 7 | 6.1 | 4.9 | -1.373 | -2.193 | 3.012 | 1.886 | 4.811 | 8 | 10 | 6.1 | 2.527 | -0.993 | -2.510 | 6.384 | 0.987 | 9 | 8.2 | 10 | 0.727 | 2.907 | 2.112 | 0.528 | 8.449 | 10 | 5.5 | 8.2 | -1.973 | 1.107 | -2.184 | 3.894 | 1.225 | 11 | 6.5 | 5.5 | -0.973 | -1.593 | 1.551 | 0.947 | 2.539 | 12 | 11 | 6.5 | 3.527 | -0.593 | -2.092 | 12.437 | 0.352 | 13 | 8.9 | 11 | 1.427 | 3.907 | 5.574 | 2.035 | 15.262 | 14 | 6.5 | 8.9 | -0.973 | 1.807 | -1.758 | 0.947 | 3.264 | 15 | 7.3 | 6.5 | -0.173 | -0.593 | 0.103 | 0.030 | 0.352 | 16 | 11.2 | 7.3 | 3.727 | 0.207 | 0.770 | 13.888 | 0.043 | Сумма | 112.1 | 106.4 | 0 | 0 | 10.507 | 64.849 | 52.689 | Среднее значение | 7.473 | 7.093 |
Следует заметить. что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, так как у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Коэффициент автокорреляции первого порядка:
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка:
| 1 | 5.5 | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 2 | 4.8 | --- | --- | --- | --- | --- | --- | 3 | 5.1 | 5.5 | -2.564 | -1.579 | 4.048 | 6.576 | 2.492 | 4 | 9 | 4.8 | 1.336 | -2.279 | -3.044 | 1.784 | 5.192 | 5 | 7.1 | 5.1 | -0.564 | -1.979 | 1.116 | 0.318 | 3.915 | 6 | 4.9 | 9 | -2.764 | 1.921 | -5.311 | 7.641 | 3.692 | 7 | 6.1 | 7.1 | -1.564 | 0.021 | -0.034 | 2.447 | 0.000 | 8 | 10 | 4.9 | 2.336 | -2.179 | -5.089 | 5.456 | 4.746 | 9 | 8.2 | 6.1 | 0.536 | -0.979 | -0.524 | 0.287 | 0.958 | 10 | 5.5 | 10 | -2.164 | 2.921 | -6.323 | 4.684 | 8.535 | 11 | 6.5 | 8.2 | -1.164 | 1.121 | -1.306 | 1.356 | 1.258 | 12 | 11 | 5.5 | 3.336 | -1.579 | -5.266 | 11.127 | 2.492 | 13 | 8.9 | 6.5 | 1.236 | -0.579 | -0.715 | 1.527 | 0.335 | 14 | 6.5 | 11 | -1.164 | 3.921 | -4.566 | 1.356 | 15.378 | 15 | 7.3 | 8.9 | -0.364 | 1.821 | -0.664 | 0.133 | 3.318 | 16 | 11.2 | 6.5 | 3.536 | -0.579 | -2.046 | 12.501 | 0.335 | Сумма | 107.3 | 99.1 | 0 | 0 | -29.721 | 57.192 | 52.644 | Среднее значение | 7.664 | 7.079 |
Следовательно:
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу:
| Лаг | Коэффициент автокорреляции уровней | 1 | 0.180 | 2 | -0.542 | 3 | 0.129 | 4 | 0.980 | 5 | 0.987 | 6 | -0.686 | 7 | 0.019 | 8 | 0.958 | 9 | 0.117 | 10 | -0.707 | 11 | -0.086 | 12 | 0.937 |
Коррелограмма:
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
2) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии.
Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.
| Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированая скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты | 1 | 5.5 | -- | -- | -- | -- | 2 | 4.8 | 24.4 | 6.1 | -- | -- | 3 | 5.1 | 26 | 6.5 | 6.300 | -1.200 | 4 | 9 | 26.1 | 6.525 | 6.513 | 2.488 | 5 | 7.1 | 27.1 | 6.775 | 6.650 | 0.450 | 6 | 4.9 | 28.1 | 7.025 | 6.900 | -2.000 | 7 | 6.1 | 29.2 | 7.3 | 7.163 | -1.063 | 8 | 10 | 29.8 | 7.45 | 7.375 | 2.625 | 9 | 8.2 | 30.2 | 7.55 | 7.500 | 0.700 | 10 | 5.5 | 31.2 | 7.8 | 7.675 | -2.175 | 11 | 6.5 | 31.9 | 7.975 | 7.888 | -1.388 | 12 | 11 | 32.9 | 8.225 | 8.100 | 2.900 | 13 | 8.9 | 33.7 | 8.425 | 8.325 | 0.575 | 14 | 6.5 | 33.9 | 8.475 | 8.450 | -1.950 | 15 | 7.3 | --- | --- | --- | --- | 16 | 11.2 | --- | --- | --- | --- |
Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими среднеми. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты . Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты :
| Показатели | Год | № квартала, | I | II | III | IV | 1 | --- | --- | -1.2 | 2.488 | 2 | 0.45 | -2 | -1.063 | 2.625 | 3 | 0.7 | -2.175 | -1.388 | 2.9 | 4 | 0.575 | -1.95 | --- | --- | Всего за i-й квартал | 1.725 | -6.125 | -3.651 | 8.013 | Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала, | 0.575 | -2.042 | -1.217 | 2.671 | Скорректированная сезонная компонента, | 0.578 | -2.039 | -1.213 | 2.674 |
В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должны быть равна нулю.
Для данной модели имеем:
Корректирующий коэффициент:
Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты и заносим полученные данные в таблицу.
Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значения из кажждого уровня исходного временного ряда. Получим величины . Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
| 1 | 5.5 | 0.578 | 4.922 | 5.853 | 6.431 | -0.931 | 0.867 | 3.423 | 2 | 4.8 | -2.039 | 6.839 | 6.053 | 4.014 | 0.786 | 0.618 | 6.503 | 3 | 5.1 | -1.213 | 6.313 | 6.253 | 5.040 | 0.060 | 0.004 | 5.063 | 4 | 9 | 2.674 | 6.326 | 6.453 | 9.127 | -0.127 | 0.016 | 2.723 | 5 | 7.1 | 0.578 | 6.522 | 6.653 | 7.231 | -0.131 | 0.017 | 0.063 | 6 | 4.9 | -2.039 | 6.939 | 6.853 | 4.814 | 0.086 | 0.007 | 6.003 | 7 | 6.1 | -1.213 | 7.313 | 7.053 | 5.840 | 0.260 | 0.068 | 1.563 | 8 | 10 | 2.674 | 7.326 | 7.253 | 9.927 | 0.073 | 0.005 | 7.023 | 9 | 8.2 | 0.578 | 7.622 | 7.453 | 8.031 | 0.169 | 0.029 | 0.722 | 10 | 5.5 | -2.039 | 7.539 | 7.653 | 5.614 | -0.114 | 0.013 | 3.423 | 11 | 6.5 | -1.213 | 7.713 | 7.853 | 6.640 | -0.140 | 0.020 | 0.723 | 12 | 11 | 2.674 | 8.326 | 8.053 | 10.727 | 0.273 | 0.075 | 13.323 | 13 | 8.9 | 0.578 | 8.322 | 8.253 | 8.831 | 0.069 | 0.005 | 2.403 | 14 | 6.5 | -2.039 | 8.539 | 8.453 | 6.414 | 0.086 | 0.007 | 0.723 | 15 | 7.3 | -1.213 | 8.513 | 8.653 | 7.440 | -0.140 | 0.020 | 0.003 | 16 | 11.2 | 2.674 | 8.526 | 8.853 | 11.527 | -0.327 | 0.107 | 14.823 | Итого | 1.876 | 68.500 |
Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени
Найлем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.
Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок:
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 99.3% общей вариации уровней временного ряда.
3) Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:
Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны:
Таким образом:
Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по эконометрике с контрольными или экзаменами.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Примеры близких по теме задач
Линейная модель парной регрессии
Задача на расчет линейной модели парной регрессии. В ходе решения приведено вычисление коэффициентов регрессии, произведена оценка их значимости, а также вычислена средняя ошибка аппроксимации и показан расчет доверительного интервала прогноза.
Модель множественной линейной регрессии
Страница содержит последовательное и систематизирование решение задачи на тему корреляционного анализа. Рассмотрена линейная модель множественной регрессии - вычисление коэффициентов регрессии и коэффициентов стандартизированного уравнения регрессии. Приведен расчет парных, частных и множественного коэффициента корреляции, коэффициентов эластичности.
Введение
1. Суть и причины автокорреляции
2. Обнаружение автокорреляции
3. Последствия автокорреляции
4. Методы устранения
4.1 Определение
на основе статистики Дарбина-УотсонаЗаключение
Список использованной литературы
Введение
Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.
Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E). Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна. Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков
за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».1.Суть и причины автокорреляции
Автокорреляция - это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.
Автокорреляция остатков чаще всего наблюдается тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.
Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК.
Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.
Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.
Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.
2.Обнаружение автокорреляции
В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений
,t=1,2…T. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок ,t=1,2…T, полученные из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.2.1.Графический метод
Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них, указывающий отклонения
с моментами t их получении (их порядковыми номерами i), приведен на рис. 2.1.Это так называемые последовательно-временные графики. В этом случае по оси абсцисс обычно откладывают либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат- отклонения (либо оценки отклонений )
Рис.2.1.
Естественно предположить, что на рис 2.1. а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.
Например, на рис. 2.1.б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости.
2.2. Метод рядов
Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений
,t=1,2…T. Например,(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),
Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.
Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.
Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.
2.3 Критерий Дарбина-Уотсона
Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины
(2.3.1)
Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F- критериев.
При обработке временных рядов необходимо учитывать наличие автокорреляции и авторегрессии , при которых значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.
Автокорреляция – явление взаимосвязи между рядами: первоначальным и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени.
Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
где
Сдвиг между соседними уровнями или сдвинутыми на любое число периодов времени называютвременным лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Коэффициент корреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Пример 3.
Пусть имеются некоторые условные данные (таблица 11) об общем количестве поступившей товарной продукции на склад предприятия.
Таблица 11 – Общее количество поступившей товарной продукции на склад.
Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х 1 , Х 2 , ... Х n-L и рядом Х 1+L , Х 2+L , ... Х n , где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r t,t-1 . Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r t,t-2 и т.д.
Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .
Если наиболее высоким оказывается значение r t,t-1 , то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r t,t-L , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.
Если ни один из r t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
Либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
Либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .
Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):
Два важных свойства коэффициента автокорреляции:
1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 1 |
| 3.18 | 4.31 |
| 4.31 | 5.66 |
| 5.66 | 6.89 |
| 6.89 | 9.47 |
| 9.47 | 12.34 |
| 12.34 | 14.36 |
| 14.36 | 18.08 |
| 18.08 | 20.63 |
| 20.63 | 24.3 |
| 24.3 | 30.2 |
| 30.2 | 37.04 |
| 37.04 | 43.81 |
| 43.81 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-1:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < r t,t-1 < 0.3: слабая;
0.3 < r t,t-1 < 0.5: умеренная;
0.5 < r t,t-1 < 0.7: заметная;
0.7 < r t,t-1 < 0.9: высокая;
0.9 < r t,t-1 < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между рядами - весьма высокая и прямая.
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 4.31 | 10.11 | 18.58 | 13.71 |
| 4.31 | 5.66 | 18.58 | 32.04 | 24.39 |
| 5.66 | 6.89 | 32.04 | 47.47 | |
| 6.89 | 9.47 | 47.47 | 89.68 | 65.25 |
| 9.47 | 12.34 | 89.68 | 152.28 | 116.86 |
| 12.34 | 14.36 | 152.28 | 206.21 | 177.2 |
| 14.36 | 18.08 | 206.21 | 326.89 | 259.63 |
| 18.08 | 20.63 | 326.89 | 425.6 | 372.99 |
| 20.63 | 24.3 | 425.6 | 590.49 | 501.31 |
| 24.3 | 30.2 | 590.49 | 912.04 | 733.86 |
| 30.2 | 37.04 | 912.04 | 1371.96 | 1118.61 |
| 37.04 | 43.81 | 1371.96 | 1919.32 | 1622.72 |
| 43.81 | 48.32 | 1919.32 | 2334.82 | 2116.9 |
| 230.27 | 275.41 | 6102.65 | 8427.36 | 7162.43 |
Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 2 |
| 3.18 | 5.66 |
| 4.31 | 6.89 |
| 5.66 | 9.47 |
| 6.89 | 12.34 |
| 9.47 | 14.36 |
| 12.34 | 18.08 |
| 14.36 | 20.63 |
| 18.08 | 24.3 |
| 20.63 | 30.2 |
| 24.3 | 37.04 |
| 30.2 | 43.81 |
| 37.04 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-2:
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 5.66 | 10.11 | 32.04 | |
| 4.31 | 6.89 | 18.58 | 47.47 | 29.7 |
| 5.66 | 9.47 | 32.04 | 89.68 | 53.6 |
| 6.89 | 12.34 | 47.47 | 152.28 | 85.02 |
| 9.47 | 14.36 | 89.68 | 206.21 | 135.99 |
| 12.34 | 18.08 | 152.28 | 326.89 | 223.11 |
| 14.36 | 20.63 | 206.21 | 425.6 | 296.25 |
| 18.08 | 24.3 | 326.89 | 590.49 | 439.34 |
| 20.63 | 30.2 | 425.6 | 912.04 | 623.03 |
| 24.3 | 37.04 | 590.49 | 1371.96 | 900.07 |
| 30.2 | 43.81 | 912.04 | 1919.32 | 1323.06 |
| 37.04 | 48.32 | 1371.96 | 2334.82 | 1789.77 |
| 186.46 | 271.1 | 4183.34 | 8408.79 | 5916.94 |
Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 3 |
| 3.18 | 6.89 |
| 4.31 | 9.47 |
| 5.66 | 12.34 |
| 6.89 | 14.36 |
| 9.47 | 18.08 |
| 12.34 | 20.63 |
| 14.36 | 24.3 |
| 18.08 | 30.2 |
| 20.63 | 37.04 |
| 24.3 | 43.81 |
| 30.2 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-3:
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 6.89 | 10.11 | 47.47 | 21.91 |
| 4.31 | 9.47 | 18.58 | 89.68 | 40.82 |
| 5.66 | 12.34 | 32.04 | 152.28 | 69.84 |
| 6.89 | 14.36 | 47.47 | 206.21 | 98.94 |
| 9.47 | 18.08 | 89.68 | 326.89 | 171.22 |
| 12.34 | 20.63 | 152.28 | 425.6 | 254.57 |
| 14.36 | 24.3 | 206.21 | 590.49 | 348.95 |
| 18.08 | 30.2 | 326.89 | 912.04 | 546.02 |
| 20.63 | 37.04 | 425.6 | 1371.96 | 764.14 |
| 24.3 | 43.81 | 590.49 | 1919.32 | 1064.58 |
| 30.2 | 48.32 | 912.04 | 2334.82 | 1459.26 |
| 149.42 | 265.44 | 2811.38 | 8376.75 | 4840.25 |
Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 4 |
| 3.18 | 9.47 |
| 4.31 | 12.34 |
| 5.66 | 14.36 |
| 6.89 | 18.08 |
| 9.47 | 20.63 |
| 12.34 | 24.3 |
| 14.36 | 30.2 |
| 18.08 | 37.04 |
| 20.63 | 43.81 |
| 24.3 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-4:
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 9.47 | 10.11 | 89.68 | 30.11 |
| 4.31 | 12.34 | 18.58 | 152.28 | 53.19 |
| 5.66 | 14.36 | 32.04 | 206.21 | 81.28 |
| 6.89 | 18.08 | 47.47 | 326.89 | 124.57 |
| 9.47 | 20.63 | 89.68 | 425.6 | 195.37 |
| 12.34 | 24.3 | 152.28 | 590.49 | 299.86 |
| 14.36 | 30.2 | 206.21 | 912.04 | 433.67 |
| 18.08 | 37.04 | 326.89 | 1371.96 | 669.68 |
| 20.63 | 43.81 | 425.6 | 1919.32 | 903.8 |
| 24.3 | 48.32 | 590.49 | 2334.82 | 1174.18 |
| 119.22 | 258.55 | 1899.34 | 8329.28 | 3965.71 |
Вывод : в данном ряду динамики имеется тенденция (r t,t-1 = 0.997 → 1).
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Автокорреляция
Вместе с этой задачей решают также:
Тест Дарбина-Уотсона
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Уравнение нелинейной регрессии
Показатели динамики: цепные и базисные
Анализ сезонных колебаний
Аддитивная модель временного ряда
Мультипликативная модель временного ряда
Онлайн сдача дистанционных тестов
Copyright © Semestr.RU
Список литературы
1. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.
2. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.
3. Эконометрика: Учебно-методическое пособие/ Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с.
