Презентация к уроку по алгебре (7 класс) на тему: Линейное уравнение с двумя переменными и его график. График уравнения с модулем

Тема: Линейная функция

Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.

Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.

Уравнение вида:

Где a, b, с - числа, причем

Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.

Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.

У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.

Рассмотрим пример:

Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:

Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:

То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)

Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: , отсюда , получили точку В(3; 0)

Занесем пары чисел в таблицу:

Построим на графике точки и проведем прямую:

Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.

Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.

Пример 2 - построить график уравнения:

Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:

В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:

, ,

Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:

, , ,

Возьмем для проверки и найдем у:

, ,

Построим график:

Умножим заданное уравнение на два:

От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.

Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Портал для семейного просмотра ().

Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;

Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;

Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;

Вы знаете, что каждой упорядоченной паре чисел соответствует определенная точка на координатной плоскости. Поскольку каждое решение уравнения с двумя переменными х и у - это упорядоченная пара чисел, то все его решения можно изобразить точками па координатной плоскости. В этих точек абсцисса - это значение переменной х, а ордината - соответствующее значение переменной у. Следовательно, получим график уравнения с двумя переменными.

Запомните!

Графиком уравнения с двумя переменными называется изображение на координатной плоскости всех точек, координаты которых удовлетворяют данное уравнение.

Посмотрите на рисунки 64 и 65. Вы видите график уравнения 0,5 x - у = 2, где х - четное одноцифрове число (рис. 64), и график уравнения х 2 + у 2 = 4 (рис. 65). Первый график содержит всего четыре точки, поскольку переменные х и у могут принимать только четыре значения. Второй же график является линией на координатной плоскости. Он содержит множество точек, поскольку переменная х может принимать любые значения от -2 до 2 и таких чисел - множество. Соответствующих значений в тоже множество. Они изменяются от 2 до 2.

На рисунке 66 показан график уравнения х + у = 4. В отличие от графика уравнения х 2 + у 2 = 4 (см. рис. 65), каждой абсцисі точек данного графика соответствует единственная ордината. А это означает, что на рисунке 66 изображен график функции. Убедитесь самостоятельно, что график уравнения на рисунке 64 также является графиком функции.

Обратите внимание

не у каждого уравнение его график является графиком функции, однако каждый график функции является графиком некоторого уравнения.

Уравнение x + y = 4 является линейным уравнением с двумя переменными. Решив его относительно у, получим: у = -х + 4. Полученное равенство можно понимать как формулу, которая задает линейную функцию у = -х + 4. Графиком такой функции является прямая. Итак, графиком линейного уравнения х + у = 4, который изображен на рисунке 66, есть прямая.

Можно ли утверждать, что график любого линейного уравнения с двумя переменными является прямой? Нет. Например, линейное уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0 удовлетворяет любая пара чисел, а потому график этого уравнения содержит все точки координатной плоскости.

Выясним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными ах + bу + с = 0 в зависимости от значений коэффициентов а, b и с. Возможны такие случаи.

Пусть a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 можно представить в виде:

Получили равенство, задающее линейную функцию у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, не проходящая через начало координат (рис. 67).

2. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + by + 0 = 0, или у = х.

Получили равенство, что задает прямую пропорциональность у(х). Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, проходящая через начало координат (рис. 68).

3. Пусть a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + с = 0, или х = -.

Получили равенство не задает функцию y(). Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (х; у), в которых х = , а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на прямой, параллельной оси OY. Итак, графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси ординат (рис. 69).

4. Пусть a ≠ 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид ах + 0 ∙ у + 0 = 0, или х = 0.

Это равенство удовлетворяют такие пары чисел (x; у), в которых х = 0, а у - любое число. На координатной плоскости эти точки лежат на оси OY. Итак, графиком данного уравнения с прямая, совпадающая с осью ординат.

5. Пусть а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠0. Тогда уравнение ах + bу + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + с = 0, или у = -. Это равенство задает функцию y(x), что приобретает тех же значений для любых значений x, то есть является постоянной. Ее графику, а значит, и графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 70).

6. Пусть а = 0, b ≠ 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + by + 0 = 0, или в = 0. Получили постоянную функцию у(х), в которой каждая точка графика лежит на оси ОХ. Итак, графиком данного уравнения является прямая, совпадающая с осью абсцисс.

7. Пусть a = 0, b = 0, с ≠ 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ в = с. А такое линейное уравнение не имеет решений, поэтому его график не содержит ни одной точки координатной плоскости.

8. Пусть а = 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение ах + by + с = 0 приобретает вид 0 ∙ х + 0 ∙ y + 0 = 0, или 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0. А такое линейное уравнение имеет множество решений, поэтому его с графиком-вся координатная плоскость.

Можем подытожить полученные результаты.

График линейного уравнения с двумя переменными ах + bу +с = 0:

Является прямой, если а ≠ 0 или b ≠ 0;

Является всей плоскостью, если а = 0, b = 0 и с = 0;

Не содержит ни одной точки координатной плоскости, если а = 0, b = 0 и с ≠ 0.

Задача. Постройте график уравнения 2х - у - 3 = 0

Решения. Уравнения 2х - у - 3 = 0 является линейным. Поэтому его графиком является прямая у = 2х - 3. Для ее построения достаточно задать две точки, принадлежащие этой прямой. Составим таблицу значений у для двух произвольных значений х, например, для х = 0 и х = 2(табл. 27).

Таблица 27

На координатной плоскости обозначим точки с координатами (0; -3) и (2; 1) и проведем через них прямую (рис. 70). Эта прямая - искомый график уравнения 2х - у - 3 = 0.

Можно ли отождествлять график линейного уравнения с двумя переменными и график уравнения первой степени с двумя переменными? Нет, поскольку существуют линейные уравнения не являются уравнениями первой степени. Например, таковыми являются уравнение 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, 0 ∙ х + 0 ∙ у + 0 = 0.

Обратите внимание:

График линейного уравнения с двумя переменными может быть прямой, всей плоскостью или не содержать ни одной точки координатной плоскости;

График уравнения первой степени с двумя переменными всегда является прямой.

Узнайте больше

1. Пусть а ≠ 0. Тогда общее решение уравнения можно представить еще и в таком виде: Х = - у -. Получили линейную функцию х(у). Ее графиком является прямая. Для построения такого графика надо по-другому состковать оси координат: первой координатной осью (независимой переменной) считать ось ОУ, а второй (зависимой переменной)

Ось ОХ. Тогда ось ОУ удобно расположить горизонтально, а ось ОХ

Вертикально (рис. 72). График уравнения в этом случае тоже будет по-разному размещаться на координатной плоскости в зависимости отмечаний коэффициентов b и с. Исследуйте это самостоятельно.

2. Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) - выдающийся отечественный математик и механик, физик-теоретик, основатель научных школ по нелинейной механике и теоретической физике, академик АН УССР (1948) и АН СССР (с 1953). Родился в г. Нижний Новгород Российской империи. В 1921 г. семья переехала в Киев. После окончания семилетней школы Боголюбов самостоятельно изучал физику и математику и с 14-ти лет уже принимал участие в семинаре кафедры математической физики Киевского университета под руководством академика Д. А. Граве. В 1924 г. в 15-летнем возрасте Боголюбов написал первую научную работу, а в следующем году был принят в аспирантуру АНУРСР к академикам. М. Крылова, которую закончил в 1929 г., получив в 20 лет степень доктора математических наук.

В 1929 p. М.М. Боголюбов стал научным сотрудником Украинской академии наук, в 1934 начал преподавать в Киевском университете (с 1936 г. - профессор). С конца 40-х годов XX века. одновременно работал в России. Был директором Объединенного института ядерных исследований, а впоследствии - директором Математического института имени. А. Стеклова в Москве, преподавал в Московском государственном университете имени Михаила Ломоносова. В 1966 г. стал первым директором созданного им Института теоретической физики АН УССР в Киеве, одновременно (1963-1988) он - академик - секретарь Отдела математики АН СССР.

М.М. Боголюбов -дважды Герой Социалистического Труда (1969,1979), награжден Ленинской премией (1958), Государственной премией СССР (1947.1953,1984), Золотой медалью им. М. В. Ломоносова АН СССР (1985).

21 сентября 2009 г. на фасаде Красного корпуса Киевского национального университета имени Тараса Шевченко была открыта мемориальная доска гениальному ученому-академику Николаю Боголюбову в честь столетия со дня его рождения.

В 1992 г. Национальной академией наук Украины была основана Премия НАН Украины имени Н. М. Боголюбова, которая вручается Отделением математики НАН Украины за выдающиеся научные работы в области математики и теоретической физики. В честь ученого была названа малая планета «22616 Боголюбов».

ВСПОМНИТЕ ГЛАВНОЕ

1. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

2. В любом случае графиком уравнения с двумя переменными является прямая; плоскость?

3. В каком случае график линейного уравнения с двумя переменными проходит через начало координат?

РЕШИТЕ ЗАДАЧИ

1078 . На каком из рисунков 73-74 изображен график линейного уравнения с двумя переменными? Ответ объясните.

1079 . При каких значений коэффициентов а, b и с прямая ах + bу + с =0.

1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс;

3) параллельна оси ординат;

4) совпадает с осью абсцисс;

5) совпадает с осью ординат?

1080 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 6х - 2у + 1 = 0 точка:

1)А(-1;2,5); 2)В(0;3,5); 3) С(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Не выполняя построения, определите, принадлежит графику линейного уравнения с двумя переменными 3х + 3у - 5 = 0 точка:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2х + у - 4 = 0, если х = 0; 3) 3х + 3у - 1 = 0, если х = 2;

2) 4х - 2y + 5 = 0, если х = 0; 4)-5х - у + 6 = 0, если х = 2.

1083 . Для данного линейного уравнения с двумя переменными найдите значение у, соответствующее заданному значению х:

1)3х - у + 2 = 0, если х = 0; 2) 6х - 5y - 7 = 0, если х = 2.

1084

1) 2х + у - 4 = 0; 4) -х + 2у + 8 = 0; 7) 5х - 10 = 0;

2) 6х - 2y + 12 = 0; 5)-х - 2у + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5х - 10y = 0; 6)х - у = 0; 9) х - у = 0.

1085 . Постройте график линейного уравнения с двумя переменными:

1) 4х + у - 3 = 0; 4) 10х - 5у - 1 = 0;

2) 9х - 3у + 12 = 0; 5) 2х + 6 = 0;

3)-4х - 8у = 0; 6) у - 3 = 0.

1086 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 2х - 3у - 18 = 0 с осью:

1) оси; 2) оси.

1087 . Найдите координаты точки пересечения графика линейного уравнения с двумя переменными 5х + 4у - 20 = 0 с осью:

1) оси; 2) оси.

1088 . На прямой, которая является графиком уравнения 0,5 х + 2у - 4 = 0, обозначено точку. Найдите ординату этой точки, если ее абсцисса равна:

5) 4(х - у) = 4 - 4у;

6) 7х - 2у = 2(1 + 3,5 х).

1094 . График линейного уравнения с двумя переменными проходит через точку А(3; -2). Найдите неизвестный коэффициент уравнения:

1) ах + 3у - 3 = 0;

2) 2х - by + 8 = 0;

3)-х + 3у - с = 0.

1095 . Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются точки пересечения графиков уравнений:

х - y + 4 = 0, х - у - 4 = 0, -х - у + 4 = 0, -х - у - 4 = 0

1096 . Постройте график уравнения:

1) а - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ а + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ПРИМЕНИТЕ НА ПРАКТИКЕ

1097 . Составьте линейное уравнение с двумя переменными по следующим данным: 1) 3 кг конфет и 2 кг печенья стоят 120 грн; 2) 2 ручки дороже 5 карандашей на 20 грн. Постройте график составленного уравнения.

1098 . Постройте график уравнения к задаче о: 1) количество девушек и парней в вашем классе; 2) покупку тетрадей в линейку и в клеточку.

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ

1099. Турист прошел 12 км за час. За сколько часов турист преодолеет расстояние 20 км с такой же скоростью движения?

1100. Какой должна быть скорость поезда по новому расписанию, чтобы он мог проехать расстояние между двумя станциями за 2,5 ч, если согласно старого расписания, двигаясь со скоростью 100 км/ч он преодолевал ее за 3 ч?

Как известно, существуют уравнения, содержащие две переменные, например, выражения вида:

Помимо числовых значений подобные выражения содержат два одночлена, включающие неизвестные переменные. Мы уже рассматривали в прошлых видео свойства подобных выражений, а также способы нахождения корней.

Любое уравнение с двумя переменными имеет ответ в виде пары чисел, которые являются значениями х и у. Чаще всего ответов бывает бесконечное множество, соответствующее двум множествам чисел х и у. Кроме того, подобные уравнения могут иметь всего лишь один корень либо не иметь ответа вообще. Но, в любом случае, если задано некое значение х, то при наличии действительного равенства найдется соответствующее значение у. Иными словами, ответ на уравнение с двумя переменными всегда представляет собой пару чисел.

Уравнение вида:

можно тождественно преобразовать, получив равносильное выражение:

у = 2,5 - 0,5х

Переместив слагаемые таким образом, чтобы оставить у с левой стороны, а х и все остальные одночлены - с правой, а также поделив обе части выражения на 2, мы получаем равносильное уравнение. Оно, по сути, является некоторой зависимостью между аргументом х и значением у. В данном выражении эта зависимость представлена аналитической линейной формой. Но её можно представить и графически, отобразив математический график в декартовой системе координат. Для этого значения аргумента рассчитывают по оси абсцисс, а значения функции - по оси ординат.

Иначе говоря, в случае уравнений с двумя переменными мы можем тождественно преобразовать их до равносильных удобных формул, после чего использовать пары корней, соответствующих верному решению этого уравнения, как координаты точек в Декартовой системе. Несколько решений уравнений дадут несколько точек, соединяемых в единый график - некую кривую линию.

В тоже время, зависимости, которые прослеживаются между переменными в одном уравнении, не всегда являются функциями в строгом определении этого понятия. К примеру, рассмотрим два уравнения:

С первого взгляда, оба равенства довольно похожи. Построим график зависимости для каждого из них. Как мы можем убедиться на видео, графики этих выражений достаточно сильно отличаются друг от друга. Если для уравнения у + х = 9 графиком является прямая линия, не проходящая через центр координат, то у 2 + х 2 = 9 имеет график в виде правильной окружности, описанной с центром в точке (0, 0). Если мы попытаемся при помощи графика определить значение у при заданном х, то увидим, что каждому аргументу соответствуют два значения у. Любой перпендикуляр, проведенный к оси абсцисс, в пределах круга обязательно пересечет круг в двух точках с одинаковым аргументом, но с противоположными значениями у. Математически это можно пояснить следующим образом:

х 2 + у 2 = а

у 2 = а - х 2

у = корень квадратный (а - х 2)

Любое отрицательное значение не может дать квадратных корней, а любое положительное всегда образует пару чисел в качестве ответа, одинаковых по значению, но противоположных по знаку. Иными словами, каждому значению у при подобной зависимости будет соответствовать два аргумента, что противоречит основному принципу функции.

Выражение вида у + х = 9, тем не менее, является обычной линейной функцией, так как вполне отвечает её требованиям. Любые уравнения с двумя переменными могут быть, а могут и не быть функциями.

Рассмотрим выражение абстрактного вида:

Любое равенство, соответствующее данной формуле, называется линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком, в общем случае, является прямая линия, а корнями, как правило, - множество пар х и у. Исключения возможны при обнулении какого либо коэффициента - а, b, или свободного члена с. Если b = 0, но если а не равно 0, то ответами уравнения будет множество пар значений, у которых х будет всегда равен одному числу, а у - любому значению. Действительно, в уравнении:

х всегда равен 3, а у может быть равным любому числу, так как эта переменная все равно обнуляется.

Если а = 0, b = 0, но свободный член не равен 0, то уравнение не имеет верных решений, так как при любых раскладах нарушается принцип равенства. Графиком этого уравнения будет пустое множество. И, наконец, если все а, b, с = 0, то любое сочетание х и у является правильным решением уравнения, а график охватывает все числовое множество (плоскость Декартовой сети).

Для закрепления материала построим график уравнения:

Преобразуем выражение в линейное уравнение с двумя переменными:

1/3(х) + 0у = 1

0у = 1 - 1/3(х)

Графиком этого выражения будет прямая, перпендикулярная к оси абсцисс в точке (3, 0). При любых у значение аргумента всегда равно 3.

Цели.

Образовательная:

1. Знать определение графика уравнения с двумя переменными;

2. Знать, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными;

3. Уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными.

Развивающая: учить анализировать, сравнивать, обобщать определять и объяснять понятия, т.е. умение мыслить.

Воспитательная: развивать нравственные отношения у школьников с окружающим миром (качество честности, трудолюбие).

Оборудование:

рабочая карта;

кроссворд;

карта-таблица;

карточки для дополнительного уровневого задания;

таблица “Уравнения с двумя переменными и их графики”;

таблица “Расположение графиков линейного уравнения с двумя переменными относительно осей координат”.

Ход урока

1. Запись домашней работы: (учитель проговаривает)

п.41, повторить п.п.15-16.

№1046, №1049, для желающих № 1152 - график с параметром.

2. Проверка домашнего задания. (До урока на перемене)

Выразить одну переменную через другую (а, б)

№1034(б), №1140 (а)

На доске “Проверь себя” (До урока на перемене учащиеся проверяют домашнее задание, сверяя с решением на доске.) – решение уравнений, критерии оценок.

(Выразить одну переменную через другую (а, б))

а) 6х - у = 12;

б) 10х + 7у = 0;

у = (7 - 6х) / 2;

у = 3,5 – 3х;

Точки: (0; 3,5), (1; 0,5), (2;-2,5).

ах – 2у = 1, х=5, у = 7, а = ?

Критерий:

Все решено правильно и самостоятельно - “5”;

Все решено правильно, но с помощью - “4”;

Решено с помощью и с ошибкой - “3”.

№ 1140 - оценивается по тем же критериям, только “5” и “4”.

После записи домашней работы предлагаю выставить оценки согласно критериям каждому за свою домашнюю работу (самооценка) в рабочую карту (предварительно подписав карт). Рабочая карта отражена на рисунке 4.

3. Совместная постановка цели урока.

Читаем тему урока на доске.

Ребята, как вы думаете, что должны знать и чему научиться на этом уроке?

А что бы этого достичь, нужно анализировать, сравнивать, объяснять понятия. Работая в классе, необходимо с уважением относиться к окружающим и быть предельно честным.

Для успешной работы повторим теоретический материал, разгадывая кроссворд. Кроссворды находятся в каждой группе (на работу 3 минуты).

Рисунок 1. Кроссворд.

Вопросы к кроссворду:

1. Что является графиком линейной функции?

2. Один из способов задания функции.

3. Пара чисел, изображающаяся в координатной плоскости.

4. Независимая переменная.

5. Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

6. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственной значение зависимой переменной.

7. Какими называются уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же решения, или не имеющие решений?

Чья группа угадает быстрее, получает жетон. Всего дается три жетона, т.е. первым трем группам.

Для тех, кто закончил работу, на доске задание (устно):

1. Назвать коэффициенты в уравнениях;

2. Выразить у через х из уравнений:

у = 3,5 - 2,5х.

2х – у = 11;

3. Как назвать эти равенства:

|х| + |у| = 10.

Внимание на доску, проверим кроссворд. (Ответы на кроссворд и критерий оценки работы на доске:)

2. Формула.

4. Аргумент.

5. График.

6. Функция.

7. Равносильными.

Критерий: Быстро и правильно - два “+”, отметить на жетоне номер группы;

Правильно - один “+”.

Поднимите руку, кто получил два “+”, один “+”. Кто не угадал, повторить определения.

Переходим к проверке (решению) устного упражнения:

1. Проговариваем коэффициенты;

2. Выражаем у через х из уравнений;

3. Называем эти равенства - уравнениями с двумя переменными.

Что является решением уравнения с двумя переменными? (Пара значений переменных - х и у )

Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными? (Много)

Как изображается пара значений переменных на координатной плоскости? (Точкой)

Сколько таких точек можно изобразить? (Много)

Что является координатами каждой из этих точек? (Абсцисса - значение х , ордината - значение у )

Что образуют все эти точки на координатной плоскости? (График)

Так что называется графиком уравнения с двумя переменными? (Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения)

Откройте учебник, п.41 и найдите это определение. Прочитаем его. Повторим. А теперь посмотрите на доску. (На доске таблица уравнений с двумя переменными и их графики – рисунок 2).

Рисунок 2. Уравнения с двумя переменными и их графики.

Что вы видите на таблице? (Уравнения с двумя переменными и их графики).

Есть ли среди них линейные уравнения с двумя переменными? (Нет)

Графики этих уравнение вы будите изучать в старших классах. А мы с вами должны узнать, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

4. Изучение нового материала.

Открыли тетради, записали тему урока. Дайте определение линейной функции и запишем:

где х и у - переменные, k , b - некоторые числа.

Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными и запишем:

ах + bу = с,

где х и у - переменные, а, b, с - некоторые числа.

Сравните, что общего в этих видах математической записи (входят две переменные х и у , числа).

Как по-другому называются числа? (Коэффициенты).

Чем отличаются? (Количеством чисел 2 и 3; в первом - выражена зависимость - функция, во втором - не выражена - уравнение).

А можно ли в линейном уравнении с двумя переменными выразить зависимость одной переменной от другой? (Да).

Давайте выразим зависимость переменной у от переменной х в линейном уравнении с двумя переменными:

где х и у - переменные, а, b, с - некоторые числа.

Выражаем в общем виде: bу = с - ах .

Что сейчас мы должны обязательно оговорить? (Что коэффициент при переменной у не равен нулю):

у = (с – ах) / b, при условии b 0 .

у = (с / b) – (а / b)х.

Запишем в стандартном виде:

у = – (а / b)х + (с / b).

Таким образом, мы получили вид линейной функции у = kx + b , только по-другому записаны числа.

Что является графиком линейной функции? (Прямая).

Что необходимо, что бы построить прямую? (Построить две точки).

А почему две точки? (Согласно аксиоме).

Так что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если коэффициент при у не равен нулю (т.е. b 0 )? (Прямая).

Что является координатами каждой из точек? (Пара значений переменных х и у , которые являются решением данного уравнения).

Запишем уравнение 2х - у = 3 . Коэффициент при переменной у не равен нулю. Запишите одно решение (спрашиваю троих и записываю три решения).

Как проверить, что каждая пара значений переменных х и у , является решением этого уравнения? (Подставить в уравнение вместо переменных х и у их значения. Если равенство верное, значит, пара чисел является решением).

Как нашли это решение? (Х - произвольное значение, у - находим).

Какую фигуру будет изображать пара чисел, являющаяся решением линейного уравнения на координатной плоскости? (Точку).

Сколько пар решений нужно, чтобы построить график? (Две пары).

Мы рассмотрели с вами общий случай построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Кроме общего случая существуют частные случаи построения графиков, когда хотя бы один из коэффициентов равен нулю.

Постановка проблемного вопроса.

А что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?

Для ответа на этот вопрос предлагается работа по группам. Возьмите карты-таблицы “Что является графиком уравнения ax + by = с , если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?”. Подпишите их. Карта-таблица представлена на рисунке 3.

Смотрим таблицу. В первом столбце записаны уравнения. Второй столбец вы должны заполнить, записывая коэффициенты линейных уравнений. Потом записываете пары решений для каждого из уравнений. Затем в соответствии с координатной плоскостью строите графики. И в последнем столбце записываете, что является графиком. Таблица заполняется по строкам. (При этой работе вызываю по одному ученику для заполнения карты-таблицы на доске после некоторого времени, когда большинство заполнят).

Если группа заканчивает работу раньше других, то на доске задание, которое выполняется устно.

По окончании работы заслушиваю двух человек. Обобщаем, что же является графиком линейного уравнения, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю? (Прямая).

Рисунок 3 . Карта-таблица “Что является графиком уравнения ax + by = с , если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?”.

Внимание на доску! (На доске таблица с графиками линейных уравнений).

Какого случая у нас нет? (а 0, b 0, с = 0 ). Что является графиком? (Прямая пропорциональность).

А теперь найдите в тексте учебника п.41 определение графика линейного уравнения с двумя переменными и зачитайте его.

Повторим, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю? (Прямая).

А можно ли по виду линейного уравнения с двумя переменными определить, что является графиком данного уравнения? (Можно).

На доске записаны линейные уравнения с двумя переменными:

1) 4х - 3у = 5;

3) 0х + 0у = 0;

Назвать уравнения, графиком которых является прямая, плоскость, нет графика. (Прямая - 1, 2, 5; плоскость - 3; нет графика - 4, 6).

И еще раз, что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

А сейчас за работу с картой-таблицей консультант проставит каждому оценки в рабочую карту. Критерий оценки - как для домашнего задания. Поднимите руку, кто справился на “5”, кто на “4”.

5. Закрепление материала.

Самостоятельная работа на доске (проверка у консультанта, консультант проверяет у группы).

Постройте график уравнения:

а) 2х - у = 6 ;

б) х + 6у = 0 ;

в) 1,2х = - 4,8 ;

г) 1,5у = 6 .

Критерий оценки (на доске):

правильно решены все - “5”;

правильно решены 4-5 - “4”;

правильно решены 3 - “3”.

Поднимите руку, кто справился на “5”, кто на “4”, кто на “3”.