Коэффициент ранговой корреляции Спирмена – это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.
1. История разработки коэффициента ранговой корреляции
Данный критерий был разработан и предложен для проведения корреляционного анализа в 1904 году Чарльзом Эдвардом Спирменом , английским психологом, профессором Лондонского и Честерфилдского университетов.
2. Для чего используется коэффициент Спирмена?
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется для выявления и оценки тесноты связи между двумя рядами сопоставляемых количественных показателей . В том случае, если ранги показателей, упорядоченных по степени возрастания или убывания, в большинстве случаев совпадают (большему значению одного показателя соответствует большее значение другого показателя - например, при сопоставлении роста пациента и его массы тела ), делается вывод о наличии прямой корреляционной связи. Если ранги показателей имеют противоположную направленность (большему значению одного показателя соответствует меньшее значение другого - например, при сопоставлении возраста и частоты сердечных сокращений ), то говорят об обратной связи между показателями.
- Коэффициент корреляции Спирмена обладает следующими свойствами:
- Коэффициент корреляции может принимать значения от минус единицы до единицы, причем при rs=1 имеет место строго прямая связь, а при rs= -1 – строго обратная связь.
- Если коэффициент корреляции отрицательный, то имеет место обратная связь, если положительный, то – прямая связь.
- Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь между величинами практически отсутствует.
- Чем ближе модуль коэффициента корреляции к единице, тем более сильной является связь между измеряемыми величинами.
3. В каких случаях можно использовать коэффициент Спирмена?
В связи с тем, что коэффициент является методом непараметрического анализа , проверка на нормальность распределения не требуется.
Сопоставляемые показатели могут быть измерены как в непрерывной шкале (например, число эритроцитов в 1 мкл крови), так и в порядковой (например, баллы экспертной оценки от 1 до 5).
Эффективность и качество оценки методом Спирмена снижается, если разница между различными значениями какой-либо из измеряемых величин достаточно велика. Не рекомендуется использовать коэффициент Спирмена, если имеет место неравномерное распределение значений измеряемой величины.
4. Как рассчитать коэффициент Спирмена?
Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:
5. Как интерпретировать значение коэффициента Спирмена?
При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее - показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи.
Статистическая значимость полученного коэффициента оценивается при помощи t-критерия Стьюдента. Если расчитанное значение t-критерия меньше табличного при заданном числе степеней свободы, статистическая значимость наблюдаемой взаимосвязи - отсутствует. Если больше, то корреляционная связь считается статистически значимой.
Корреляционный анализ является методом, позволяющим обнаруживать зависимости между определенным количеством случайных величин. Цель корреляционного анализа, сводится к выявлению оценки силы связей между такими случайными величинами либо признаками, характеризующими определенные реальные процессы.
Сегодня мы предлагаем рассмотреть, как применяется корреляционный анализ по Спирмену, для наглядного отображения форм связи в практическом трейдинге.
Корреляция по Спирмену или основа корреляционного анализа
Для того чтобы понять, что такое корреляционный анализ, изначально следует уяснить понятие корреляции.
При этом, если цена начнет двигаться в нужном Вам направлении необходимо вовремя произвести разлокирование позиций.
Для данной стратегии в основу которой положен корреляционный анализ, наилучшим образом подходят торговые инструменты имеющие высокую степень корреляции (EUR/USD и GBP/USD, EUR/AUD и EUR/NZD, AUD/USD и NZD/USD, контракты CFD и тому подобные).
Видео: Применение корреляции Спирмена на рынке Форекс
Краткая теория
Ранговая корреляция – это метод корреляционного анализа, отражающий отношения переменных, упорядоченных по возрастанию их значения.
Ранги - это порядковые номера единиц совокупности в ранжированном ряду. Если проранжировать совокупность по двум признакам, связь между которыми изучается, то полное совпадение рангов означает максимально тесную прямую связь, а полная противоположность рангов - максимально тесную обратную связь. Ранжировать оба признака необходимо в одном и том же порядке: либо от меньших значений признака к большим, либо наоборот.
Для практических целей использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.
Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.
Величина коэффициента корреляции Спирмена лежит в интервале +1 и -1. Он может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.
Ранговый коэффициент корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
Разность между рангами по двум переменным
– число сопоставляемых пар
Первым этапом расчета коэффициента ранговой корреляции является ранжирование рядов переменных. Процедура ранжирования начинается с расположения переменных по возрастанию их значений. Разным значениям присваиваются ранги, обозначаемые натуральными числами. Если встречается несколько равных по значению переменных, им присваивается усредненный ранг.
Преимущество коэффициента корреляции рангов Спирмена состоит в том, что ранжировать можно и по таким признакам, которые нельзя выразить численно: можно проранжировать кандидатов на занятие определенной должности по профессиональному уровню, по умению руководить коллективом, по личному обаянию и т. п. При экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелированные с оценками других экспертов. Коэффициент корреляции рангов Спирмена применяется для оценки устойчивости тенденции динамики. Недостатком коэффициента корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать совершенно отличные разности значений признаков (в случае количественных признаков). Поэтому для последних следует считать корреляцию рангов приближенной мерой тесноты связи, обладающей меньшей информативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений признаков.
Пример решения задачи
Условие задачи
Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.
Определите тесноту связи при помощи коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по статистике с домашними контрольными или экзаменами.
Решение задачи
Рассчитаем коэффициент корреляции рангов.
| № | Ранжирование | Сравнение рангов | Разность рангов | 1 | 26 | 4.7 | 8 | 1 | 3.1 | 1 | 8 | 10 | -2 | 4 | 2 | 22 | 4.4 | 10 | 2 | 3.6 | 2 | 7 | 9 | -2 | 4 | 3 | 8 | 3.8 | 12 | 3 | 3.7 | 3 | 1 | 4 | -3 | 9 | 4 | 12 | 3.7 | 15 | 4 | 3.8 | 4 | 3 | 3 | 0 | 0 | 5 | 15 | 4.2 | 17 | 5 | 3.9 | 5 | 4 | 7 | -3 | 9 | 6 | 30 | 4.3 | 20 | 6 | 4 | 6 | 9 | 8 | 1 | 1 | 7 | 20 | 3.6 | 22 | 7 | 4.2 | 7 | 6 | 2 | 4 | 16 | 8 | 31 | 4 | 26 | 8 | 4.3 | 8 | 10 | 6 | 4 | 16 | 9 | 10 | 3.1 | 30 | 9 | 4.4 | 9 | 2 | 1 | 1 | 1 | 10 | 17 | 3.9 | 31 | 10 | 4.7 | 10 | 5 | 5 | 0 | 0 | Сумма | 60 |
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
Подставляя числовые значения, получаем:
Вывод к задаче
Связь между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку, умеренной тесноты.
Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, на сайте всегда можно заказать cрочное решение задач по статистике .
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Примеры близких по теме задач
Коэффициент Фехнера
Приведена краткая теория и рассмотрен пример решения задачи на расчет коэффициента корреляции знаков Фехнера.
Коэффициенты взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона
Страница содержит сведения по методам изучения взаимосвязей между качественными признаками с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона.
Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.
Величина коэффициента корреляции Спирмена также лежит в интервале +1 и -1. Он, как и коэффициент Пирсона, может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.
В принципе число ранжируемых признаков (качеств, черт и т.п.) может быть любым, но сам процесс ранжирования большего, чем 20 числа признаков -- затруднителен. Возможно, что именно поэтому таблица критических значений рангового коэффициента корреляции рассчитана лишь для сорока ранжируемых признаков (n < 40, табл. 20 приложения 6).
Ранговый коэффициент корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
где n - количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);
D - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;
Сумма квадратов разностей рангов.
Используя ранговый коэффициент корреляции, рассмотрим следующий пример.
Пример : Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года.
Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в табл. 13.
Таблица 13
|
№ учащихся | |||||||||||
|
Ранги показателей школьной готовности | |||||||||||
|
Ранги среднегодовой успеваемости | |||||||||||
Подставляем полученные данные в формулу и производим расчет. Получаем:
Для нахождения уровня значимости обращаемся к табл. 20 приложения 6, в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции.
Подчеркнем, что в табл. 20 приложения 6, как и в таблице для линейной корреляции Пирсона, все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Поэтому, знак коэффициента корреляции учитывается только при его интерпретации.
Нахождение уровней значимости в данной таблице осуществляется по числу n, т. е. по числу испытуемых. В нашем случае n = 11. Для этого числа находим :
0,61 для P 0,05
0,76 для P 0,01
Строим соответствующую ``ось значимости"":
Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью - иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Нгипотезу о сходстве и принять альтернативную (Но наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.
Случай одинаковых (равных) рангов
При наличии одинаковых рангов формула расчета коэффициента линейной корреляции Спирмена будет несколько иной. В этом случае в формулу вычисления коэффициентов корреляции добавляются два новых члена, учитывающие одинаковые ранги. Они называются поправками на одинаковые ранги и добавляются в числитель расчетной формулы.
где n - число одинаковых рангов в первом столбце,
k - число одинаковых рангов во втором столбце.
Если имеется две группы одинаковых рангов, в каком-либо столбце то формула поправки несколько усложняется:
где n - число одинаковых рангов в первой группе ранжируемого столбца,
k - число одинаковых рангов в второй группе ранжируемого столбца. Модификация формулы в общем случае такова:
Пример : Психолог, используя тест умственного развития (ШТУР) проводит исследование интеллекта у 12 учащихся 9 класса. Одновременно с этим, но просит учителей литературы и математики провести ранжирование этих же учащихся по показателям умственного развития. Задача заключается в том, чтобы определить, как связаны между собой объективные показатели умственного развития (данные ШТУРа) и экспертные оценки учителей.
Экспериментальные данные этой задачи и дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Спирмена, представим в виде табл. 14.
Таблица 14
|
№ учащихся |
Ранги тестирования с помощью ШТУРа |
Экспертные оценки учителей по математики |
Экспертные оценки учителей по литературе |
D (второго и третьего столбцов) |
D (второго и четвертого столбцов) |
(второго и третьего столбцов) |
(второго и четвертого столбцов) |
Поскольку при ранжировании использовались одинаковые ранги, то необходимо проверить правильность ранжирования во втором, третьем и четвертом столбцах таблицы. Суммирование в каждом из этих столбцов дает одинаковую сумму - 78.
Проверяем по расчетной формуле. Проверка дает:
В пятом и шестом столбцах таблицы приведены величины разности рангов между экспертными оценками психолога по тесту ШТУР для каждого ученика и величинами экспертных оценок учителей, соответственно по математике и литературе. Сумма величин разностей рангов должна быть равна нулю. Суммирование величин D в пятом и шестом столбцах дало искомый результат. Следовательно, вычитание рангов проведено правильно. Подобную проверку необходимо делать каждый раз при проведении сложных видов ранжирования.
Прежде, чем начать расчет по формуле необходимо рассчитать поправки на одинаковые ранги для второго, третьего и четвертого столбцов таблицы.
В
нашем случае во втором столбце таблицы
два одинаковых ранга, следовательно,
по формуле величина поправки D1 будет:
В
третьем столбце три одинаковых ранга,
следовательно, по формуле величина
поправки D2 будет:
В
четвертом столбце таблицы две группы
по три одинаковых ранга, следовательно,
по формуле величина поправки D3 будет:
Прежде, чем преступить к решению задачи, напомним, что психолог выясняет два вопроса - как связаны величины рангов по тесту ШТУР с экспертными оценками по математике и литературе. Именно поэтому расчет проводится дважды.
Считаем первый ранговый коэффициент с учетом добавок по формуле. Получаем:
Подсчитаем без учета добавки:
Как видим, разница в величинах коэффициентов корреляции оказалась очень незначительной.
Считаем второй ранговый коэффициент с учетом добавок по формуле. Получаем:
Подсчитаем без учета добавки:
И опять, различия оказались очень незначительны. Поскольку число учащихся в обоих случаях одинаково, по табл. 20 приложения 6 находим критические значения при n = 12 сразу для обоих коэффициентов корреляции.
0,58 для P 0,05
0,73 для P 0,01
Откладываем первое значение на ``оси значимости"":
В первом случае полученный коэффициент ранговой корреляции находится в зоне значимости. Поэтому психолог должен отклонить нулевую Нгипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и принять альтернативную Но значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. Иными словами, полученный результат говорит о том, что чем выше экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР, тем выше их экспертные оценки по математике.
Откладываем второе значение на ``оси значимости"":
Во втором случае коэффициент ранговой корреляции находится в зоне неопределенности. Поэтому психолог может принять нулевую Нгипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и отклонить альтернативную Но значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. В этом случае полученный результат говорит о том, что экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР не связаны с экспертными оценками по литературе.
Для применения коэффициента корреляции Спирмена, необходимо соблюдать следующие условия:
1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой (ранговой) шкале, но могут быть измерены также в шкале интервалов и отношений.
2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.
3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.
Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (табл. 20 приложение 6) рассчитаны от числа признаков равных n = 5 до n = 40 и при большем числе сравниваемых переменных следует использовать таблицу для пирсоновского коэффициента корреляции (табл. 19 приложение 6). Нахождение критических значений осуществляется при k = n.
На практике для определения тесноты связи двух признаков часто применяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Р). Значения каждого признака ранжируются по степени возрастания (от 1 до n), затем определяется разница (d) между рангами, соответствующими одному наблюдению.
Пример №1
. Зависимость между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по 10 областям одного из федеральных округов РФ в 2003 году характеризуется следующими данными.
Вычислите ранговые коэффициенты корреляции Спирмена
и Кендэла . Проверить их значимость при α=0,05. Сформулируйте вывод о зависимости между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по рассматриваемым областям РФ.
Присвоим ранги признаку Y и фактору X . Найдем сумму разности квадратов d 2 .
Используя калькулятор , вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена:
| X | Y | ранг X, d x | ранг Y, d y | (d x - d y) 2 |
| 1.3 | 300 | 1 | 2 | 1 |
| 1.8 | 1335 | 2 | 12 | 100 |
| 2.4 | 250 | 3 | 1 | 4 |
| 3.4 | 946 | 4 | 8 | 16 |
| 4.8 | 670 | 5 | 7 | 4 |
| 5.1 | 400 | 6 | 4 | 4 |
| 6.3 | 380 | 7 | 3 | 16 |
| 7.5 | 450 | 8 | 5 | 9 |
| 7.8 | 500 | 9 | 6 | 9 |
| 17.5 | 1582 | 10 | 16 | 36 |
| 18.3 | 1216 | 11 | 9 | 4 |
| 22.5 | 1435 | 12 | 14 | 4 |
| 24.9 | 1445 | 13 | 15 | 4 |
| 25.8 | 1820 | 14 | 19 | 25 |
| 28.5 | 1246 | 15 | 10 | 25 |
| 33.4 | 1435 | 16 | 14 | 4 |
| 42.4 | 1800 | 17 | 18 | 1 |
| 45 | 1360 | 18 | 13 | 25 |
| 50.4 | 1256 | 19 | 11 | 64 |
| 54.8 | 1700 | 20 | 17 | 9 |
| 364 |
Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая.
Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена
По таблице Стьюдента находим Tтабл.
T табл = (18;0.05) = 1.734
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициента ранговой корреляции Спирмена статистически - значим.
Интервальная оценка для коэффициента ранговой корреляции (доверительный интервал)
Доверительный интервал
для коэффициента ранговой корреляции Спирмена: p(0.5431;0.9095).
Пример №2 . Исходные данные.
| 5 | 4 |
| 3 | 4 |
| 1 | 3 |
| 3 | 1 |
| 6 | 6 |
| 2 | 2 |
| Новые ранги | ||
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3.5 |
| 4 | 3 | 3.5 |
| 5 | 5 | 5 |
| 6 | 6 | 6 |
| Номера мест в упорядоченном ряду | Расположение факторов по оценке эксперта | Новые ранги |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 4.5 |
| 5 | 4 | 4.5 |
| 6 | 6 | 6 |
| ранг X, d x | ранг Y, d y | (d x - d y) 2 |
| 5 | 4.5 | 0.25 |
| 3.5 | 4.5 | 1 |
| 1 | 3 | 4 |
| 3.5 | 1 | 6.25 |
| 6 | 6 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 21 | 21 | 11.5 |
где
j - номера связок по порядку для признака х;
А j - число одинаковых рангов в j-й связке по х;
k - номера связок по порядку для признака у;
В k - число одинаковых рангов в k-й связке по у.
A = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
B = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
D = A + B = 0.5 + 0.5 = 1
Связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.
