ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Мозамбик
……………………………………………………………………………………..
Швейцария

Принятые в таблице обозначения:

· Y -- средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

· X 1 -- ВВП в паритетах покупательной способности;

· X 2 -- цепные темпы прироста населения, %;

· X 3 -- цепные темпы прироста рабочей силы, %;

· Х 4 -- коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 -- 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

4. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

5. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y .

6. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y , если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %.

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1. С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис» «Анализ данных…» «Корреляция»). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полямиДля копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen (на некоторых клавиатурах -- Alt+PrtSc).. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1.

рис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х 2 -Х 3 (выделен жирным шрифтом). Факторы Х 2 -Х 3 таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х2-Х3 являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х2 имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y, чем фактор Х3: ry,x2=0,72516; ry,x3=0,53397; |ry,x2|>|ry,x3| (см. табл. 1). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х2 на изменение Y. Фактор Х3, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y , X 1 , X 2 , X 4) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3) . Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия » (меню «Сервис» «Анализ данных… » «Регрессия »). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2 .

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2 . Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 2 ):

y = 75.44 + 0.0447 ? x 1 - 0.0453 ? x 2 - 0.24 ? x 4

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571?10 -45 (см. «Значимость F» в табл. 2 ), что существенно ниже принятого уровня значимости =0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х 1 ниже принятого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2 ), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y .

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х 2 и Х 4 превышает принятый уровень значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2 ), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y (X 1 ,X 2 ,X 4 )

Таблица 2

Y (X 1 , X 2 , X 4 )

Дисперсионный анализ
					Значимость F
Регрессия
Уравнение регрессии
Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение

3. По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

· факторы, у коэффициентов которых t _статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х 1 ко второй -- фактор X 4 . Фактор X 2 исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X 1 , X 4 .

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3 ). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3 . Уравнение регрессии имеет вид:

y = 75.38278 + 0.044918 ? x 1 - 0.24031 ? x 4

(см. «Коэффициенты» в табл.3 ).

рис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y (X 1 , X 4 )

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели Y (X 1 , X 4 )

Регрессионная статистика
Множественный R
R-квадрат
Нормированный R-квадрат
Стандартная ошибка
Наблюдения
Дисперсионный анализ
					Значимость F
Регрессия
Уравнение регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «Значимость F» в табл.3 ).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х 1 вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 3 ). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способности X 1 на изменение годовой прибыли Y .

Коэффициент при факторе Х 4 (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t _статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х 4 следует относиться с некоторой долей осторожности.

4. Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику» в табл. 3):

· множественный коэффициент детерминации

R 2 = _ i=1 ____________ =0.946576

R 2 = показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y , причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X 1 , X 4 ;

· стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

E отн?0,8 ? -- ? 100%=0.8 ? 2.252208/66.9 ? 100%?2.7

где тыс. руб. -- среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ »; прил. 1 ).

Е отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при -- точность модели высокая, при -- хорошая, при -- удовлетворительная, при -- неудовлетворительная).

5. Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения -- с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

Экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов или процессов. Они формируются под действием множества факторов, не все из которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обусловливать случайность данных, которые они определяют. Одной из основных задач в экономических исследованиях является анализ зависимостей между переменными.

Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего два типа связей:

• функциональные - характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины: каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Этот тип связи выражается в виде формульной зависимости. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов;
• корреляционные - между изменением двух признаков нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем, при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.

Изучая взаимосвязи между признаками, их классифицируют по направлению, форме, числу факторов:

• по направлению связи делятся на прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора. При обратной связи направление изменения результативного признака противоположно направлению изменения признака- фактора. Например, чем выше квалификация рабочего, тем выше уровень производительности его труда (прямая связь). Чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции (обратная связь);
• по форме (виду функции) связи делят на линейные (прямолинейные) и нелинейные (криволинейные). Линейная связь отображается прямой линией, нелинейная - кривой (парабол ой, гиперболой и т.п.). При линейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит равномерное возрастание (убывание) значения результативного признака;
• по количеству факторов, действующих на результативный признак, связи подразделяют на однофакторные (парные) и многофакторные.

Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции .

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит п наблюдений.

При изучении взаимосвязи между двумя факторами их, как правило, обозначают Х= (х р х 2 , ...,х п) и Y= (у { , у 2 , ...,у и).

Ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух переменных. Например, положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Ковариация между двумя переменными X и Y рассчитывается следующим образом:

где- фактические значения переменных

X и г;

Если случайные величины Хи Y независимы, теоретическая ковариация равна нулю.

Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные Хи У, она является ненормированной величиной. Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

Для двух переменных X и Y коэффициент парной корреляции

определяется следующим образом:

где SSy - оценки дисперсий величин Хи Y. Эти оценки характеризуют степень разброса значений х { ,х 2 , ...,х п (у 1 ,у 2 ,у п) вокруг своего среднего х (у соответственно), или вариабельность (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

Дисперсия (оценка дисперсии) определяется по формуле

В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (п-р), где п - объем выборки, р - число наложенных на выборку связей. Так как выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, то число наложенных связей в данном случае равно единице (р = 1), а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (п - 1).

Более естественно измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением (стандартным отклонением ) или стандартной ошибкой переменной X (переменной Y) и определяемый соотношением

Слагаемые в числителе формулы (3.2.1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак корреляции (положительная или отрицательная). Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента парной корреляции [см. формулу (3.2.2)] просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности, и принимает значения от -1 до +1.

Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, есть ковариация ХиУ. Несмотря на то что иногда она используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции. Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.

Для качественной оценки коэффициента корреляции применяются различные шкалы, наиболее часто - шкала Чеддока. В зависимости от значения коэффициента корреляции связь может иметь одну из оценок:

• 0,1-0,3 - слабая;
• 0,3-0,5 - заметная;
• 0,5-0,7 - умеренная;
• 0,7-0,9 - высокая;
• 0,9-1,0 - весьма высокая.

Оценка степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. В связи с этим возникает необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием 7-критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле

Вычисленное по этой формуле значение / набл сравнивается с критическим значением 7-критерия, которое берется из таблицы значений /-критерия Стьюдента (см. Приложение 2) с учетом заданного уровня значимости ос и числа степеней свободы (п - 2).

Если 7 набл > 7 табл, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если значение г у х близко к нулю, связь между переменными слабая. Если корреляция между случайными величинами:

• положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;
• отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать. Удобным графическим средством анализа парных данных является диаграмма рассеяния , которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам. Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты х (. и у г По мере того как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина г будет ближе к единице.

Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества признаков получают матрицу коэффициентов парной корреляции.

Пусть вся совокупность данных состоит из переменной Y = = (у р у 2 , ..., у п) и т переменных (факторов) X, каждая из которых содержит п наблюдений. Значения переменных Y и X, содержащиеся в наблюдаемой совокупности, записываются в таблицу (табл. 3.2.1).

Таблица 3.2.1

Переменная Номер наблюдения
					Х тЗ
					Х тп

На основании данных, содержащихся в этой таблице, вычисляют матрицу коэффициентов парной корреляции R, она симметрична относительно главной диагонали:

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции используют при построении моделей множественной регрессии.

Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:

• 1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ.
• 2. Определение тесноты связи между двумя величинами при фиксировании или исключении влияния остальных величин.

Эти задачи решаются соответственно с помощью коэффициентов множественной и частной корреляции.

Решение первой задачи (определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ) осуществляется с помощью выборочного коэффициента множественной корреляции по формуле

где R - R [см. формулу (3.2.6)]; Rjj - алгебраическое дополнение элемента той же матрицы R.

Квадрат коэффициента множественной корреляции Щ j 2 j _j J+l m принято называть выборочным множественным коэффициентом детерминации ; он показывает, какую долю вариации (случайного разброса) исследуемой величины Xj объясняет вариация остальных случайных величин Х { , Х 2 ,..., Х т.

Коэффициенты множественной корреляции и детерминации являются величинами положительными, принимающими значения в интервале от 0 до 1. При приближении коэффициента R 2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении. Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные, и не увеличится, если исключать какие-либо из имеющихся признаков.

Проверка значимости коэффициента детерминации осуществляется путем сравнения расчетного значения /’-критерия Фишера

с табличным F raбл. Табличное значение критерия (см. Приложение 1) определяется заданным уровнем значимости а и степенями свободы v l = mnv 2 = n-m-l. Коэффициент R 2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния других случайных величин (одной или нескольких).

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле

где R Jk , Rjj, R kk - алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы R [см. формулу (3.2.6)].

Частный коэффициент корреляции, также как и парный коэффициент корреляции, изменяется от -1 до +1.

Выражение (3.2.9) при условии т = 3 будет иметь вид

Коэффициент г 12(3) называется коэффициентом корреляции между х { и х 2 при фиксированном х у Он симметричен относительно первичных индексов 1, 2. Его вторичный индекс 3 относится к фиксированной переменной.

Пример 3.2.1. Вычисление коэффициентов парной,

множественной и частной корреляции.

В табл. 3.2.2 представлена информация об объемах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

• 1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объем продаж» и «индекс потребительских расходов».
• 2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объем продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).
• 3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.
• 4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.
• 5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.
• 6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

1. В нашем примере диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис. 3.2.1. Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных Х 2 Y (объем продаж).

Рис. 3.2.1.

2. Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными Х 2 (индекс потребительских расходов) и Y (объем продаж) приведены в табл. 3.2.3.

Средние значения случайных величин Х 2 и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности jCj, х 2 , ..., х 16 и y v y 2 , ..., у 16 , рассчитаем по следующим формулам:

Объем продаж Y, тыс. руб.		Индекс потреби тельских расходов	Объем продаж Y, тыс. руб.		Индекс потреби тельских расходов

Таблица 3.2.3

				л:, - х	(И - У)(х, - х)	(х, - х) 2	(у,- - у) 2

Дисперсия характеризует степень разброса значений x v x 2 ,х :

Рассмотрим теперь решение примера 3.2.1 в Excel.

Чтобы вычислить корреляцию средствами Excel, можно воспользоваться функцией =коррел (), указав адреса двух столбцов чисел, как показано на рис. 3.2.2. Ответ помещен в D8 и равен 0,816.

Рис. 3.2.2.

(Примечание. Аргументы функции коррел должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими числа. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Если массив! и массив2 имеют различное количество точек данных, то функция коррел возвращает значение ошибки #н/д.

Если массив1 либо массив2 пуст или если о (стандартное отклонение) их значений равно нулю, то функция коррел возвращает значение ошибки #дел/0 !.)

Критическое значение /-статистики Стьюдента может быть также получено с помощью функции стьюдраспробр 1 пакета Excel. В качестве аргументов функции необходимо задать число степеней свободы, равное п - 2 (в нашем примере 16 - 2= 14) и уровень значимости а (в нашем примере а = 0,1) (рис. 3.2.3). Если фактическое значение /-статистики, взятое по модулю, больше критического, то с вероятностью (1 - а) коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Рис. 3.2.3. Критическое значение /-статистики равно 1,7613

В Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения различных статистических задач. Для вычисления матрицы коэффициентов парной корреляции R следует воспользоваться инструментом Корреляция (рис. 3.2.4) и установить параметры анализа в соответствующем диалоговом окне. Ответ будет помещен на новый рабочий лист (рис. 3.2.5).

1 В Excel 2010 название функции стьюдраспробр изменено на стью-

ДЕНТ.ОБР.2Х.

Рис. 3.2.4.

Рис. 3.2.5.

• Основоположниками теории корреляции считаются английские статистики Ф. Гальтон (1822-1911) и К. Пирсон (1857-1936). Термин «корреляция» был заимствован из естествознания и обозначает «соотношение, соответствие». Представление о корреляции как взаимозависимости между случайными переменными величинами лежит воснове математико-статистической теории корреляции.

	y	x (1)	x (2)	x (3)	x (4)	x (5)
y	1.00	0.43	0.37	0.40	0.58	0.33
x (1)	0.43	1.00	0.85	0.98	0.11	0.34
x (2)	0.37	0.85	1.00	0.88	0.03	0.46
x (3)	0.40	0.98	0.88	1.00	0.03	0.28
x (4)	0.58	0.11	0.03	0.03	1.00	0.57
x (5)	0.33	0.34	0.46	0.28	0.57	1.00

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции показывает, что результативный показатель наиболее тесно связан с показателем x (4) - количество удобрений, расходуемых на 1 га ().

В то же время связь между признаками-аргументами достаточно тесная. Так, существует практически функциональная связь между числом колесных тракторов (x (1)) и числом орудий поверхностной обработки почвы .

О наличии мультиколлинеарности свидетельствуют также коэффициенты корреляции и . Учитывая тесную взаимосвязь показателей x (1) , x (2) и x (3) , в регрессионную модель урожайности может войти лишь один из них.

Чтобы продемонстрировать отрицательное влияние мультиколлинеарности, рассмотрим регрессионную модель урожайности, включив в нее все исходные показатели:

F набл = 121.

В скобках указаны значения исправленных оценок среднеквадратических отклонений оценок коэффициентов уравнения .

Под уравнением регрессии представлены следующие его параметры адекватности: множественный коэффициент детерминации ; исправленная оценка остаточной дисперсии , средняя относительная ошибка аппроксимации и расчетное значение -критерия F набл = 121.

Уравнение регрессии значимо, т.к. F набл = 121 > F kp = 2,85 найденного по таблице F -распределения при a=0,05; n 1 =6 и n 2 =14.

Из этого следует, что Q¹0, т.е. и хотя бы один из коэффициентов уравнения q j (j = 0, 1, 2, ..., 5) не равен нулю.

Для проверки гипотезы о значимости отдельных коэффициентов регрессии H0: q j =0, где j =1,2,3,4,5, сравнивают критическое значение t kp = 2,14, найденное по таблице t -распределения при уровне значимости a=2Q =0,05 и числе степеней свободы n=14, с расчетным значением . Из уравнения следует, что статистически значимым является коэффициент регрессии только при x (4) , так как ½t 4 ½=2,90 > t kp =2,14.

Не поддаются экономической интерпретации отрицательные знаки коэффициентов регрессии при x (1) и x (5) . Из отрицательных значений коэффициентов следует, что повышение насыщенности сельского хозяйства колесными тракторами (x (1)) и средствами оздоровления растений (x (5)) отрицательно сказывается на урожайности. Таким образом, полученное уравнение регрессии неприемлемо.

Для получения уравнения регрессии со значимыми коэффициентами используем пошаговый алгоритм регрессионного анализа. Первоначально используем пошаговый алгоритм с исключением переменных.

Исключим из модели переменную x (1) , которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение ½t 1 ½=0,01. Для оставшихся переменных вновь построим уравнение регрессии:

Полученное уравнение значимо, т.к. F набл = 155 > F kp = 2,90, найденного при уровне значимости a=0,05 и числах степеней свободы n 1 =5 и n 2 =15 по таблице F -распределения, т.е. вектор q¹0. Однако в уравнении значим только коэффициент регрессии при x (4) . Расчетные значения ½t j ½ для остальных коэффициентов меньше t кр = 2,131, найденного по таблице t -распределения при a=2Q =0,05 и n=15.

Исключив из модели переменную x (3) , которой соответствует минимальное значение t 3 =0,35 и получим уравнение регрессии:

(2.9)

В полученном уравнении статистически не значим и экономически не интерпретируем коэффициент при x (5) . Исключив x (5) получим уравнение регрессии:

(2.10)

Мы получили значимое уравнение регрессии со значимыми и интерпретируемыми коэффициентами.

Однако полученное уравнение является не единственно “хорошей” и не “самой лучшей” моделью урожайности в нашем примере.

Покажем, что в условии мультиколлинеарности пошаговый алгоритм с включением переменных является более эффективным. На первом шаге в модель урожайности y входит переменная x (4) , имеющая самый высокий коэффициент корреляции с y , объясняемой переменной -r (y , x (4))=0,58. На втором шаге, включая уравнение наряду с x (4) переменные x (1) или x (3) , мы получим модели, которые по экономическим соображениям и статистическим характеристикам превосходят (2.10):

(2.11)

(2.12)

Включение в уравнение любой из трех оставшихся переменных ухудшает его свойства. Смотри, например, уравнение (2.9).

Таким образом, мы имеем три “хороших” модели урожайности, из которых нужно выбрать по экономическим и статистическим соображениям одну.

По статистическим критериям наиболее адекватна модель (2.11). Ей соответствуют минимальные значения остаточной дисперсии =2,26 и средней относительной ошибки аппроксимации и наибольшие значения и F набл = 273.

Несколько худшие показатели адекватности имеет модель (2.12), а затем - модель (2.10).

Будем теперь выбирать наилучшую из моделей (2.11) и (2.12). Эти модели отличаются друг от друга переменными x (1) и x (3) . Однако в моделях урожайностей переменная x (1) (число колесных тракторов на 100 га) более предпочтительна, чем переменная x (3) (число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га), которая является в некоторой степени вторичной (или производной от x (1)).

В этой связи из экономических соображений предпочтение следует отдать модели (2.12). Таким образом, после реализации алгоритма пошагового регрессионного анализа с включением переменных и учета того, что в уравнение должна войти только одна из трех связанных переменных (x (1) , x (2) или x (3)) выбираем окончательное уравнение регрессии:

Уравнение значимо при a=0,05, т.к. F набл = 266 > F kp = 3,20, найденного по таблице F -распределения при a=Q =0,05; n 1 =3 и n 2 =17. Значимы и все коэффициенты регрессии и в уравнении ½t j ½>t kp (a=2Q =0,05; n=17)=2,11. Коэффициент регрессии q 1 следует признать значимым (q 1 ¹0) из экономических соображений, при этом t 1 =2,09 лишь незначительно меньше t kp = 2,11.

Из уравнения регрессии следует, что увеличение на единицу числа тракторов на 100 га пашни (при фиксированном значении x (4)) приводит к росту урожайности зерновых в среднем на 0,345 ц/га.

Приближенный расчет коэффициентов эластичности э 1 »0,068 и э 2 »0,161 показывает, что при увеличении показателей x (1) и x (4) на 1% урожайность зерновых повышается в среднем соответственно на 0,068% и 0,161%.

Множественный коэффициент детерминации свидетельствует о том, что только 46,9% вариации урожайности объясняется вошедшими в модель показателями (x (1) и x (4)), то есть насыщенностью растениеводства тракторами и удобрениями. Остальная часть вариации обусловлена действием неучтенных факторов (x (2) , x (3) , x (5) , погодные условия и др.). Средняя относительная ошибка аппроксимации характеризует адекватность модели, так же как и величина остаточной дисперсии . При интерпретации уравнения регрессии интерес представляют значения относительных ошибок аппроксимации . Напомним, что - модельное значение результативного показателя, характеризует среднее для совокупности рассматриваемых районов значение урожайности при условии, что значения объясняющих переменных x (1) и x (4) зафиксированы на одном и том же уровне, а именно x (1) = x i (1) и x (4) = x i (4) . Тогда по значениям d i можно сопоставлять районы по урожайности. Районы, которым соответствуют значения d i >0, имеют урожайность выше среднего, а d i <0 - ниже среднего.

В нашем примере, по урожайности наиболее эффективно растениеводство ведется в районе, которому соответствует d 7 =28%, где урожайность на 28% выше средней по региону, и наименее эффективно - в районе с d 20 =-27,3%.

Задачи и упражнения

2.1. Из генеральной совокупности (y , x (1) , ..., x (p)), где y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием и дисперсией s 2 , взята случайная выборка объемом n , и пусть (y i , x i (1) , ..., x i (p)) - результат i -го наблюдения (i =1, 2, ..., n ). Определить: а) математическое ожидание МНК-оценки вектора q ; б) ковариационную матрицу МНК-оценки вектора q ; в) математическое ожидание оценки .

2.2. По условию задачи 2.1 найти математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных регрессией, т.е. EQ R , где

.

2.3. По условию задачи 2.1 определить математическое ожидание суммы квадратов отклонений, обусловленных остаточной вариацией относительно линий регрессии, т.е. EQ ост, где

2.4. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q=0 статистика

имеет F-распределение с числами степеней свободы n 1 =p+1 и n 2 =n-p-1.

2.5. Доказать, что при выполнении гипотезы Н 0: q j =0 статистика имеет t-распределение с числом степеней свободы n=n-p-1.

2.6. На основании данных (табл.2.3) о зависимости усушки кормового хлеба (y ) от продолжительности хранения (x ) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное.

Таблица 2.3.

Требуется: а) найти оценки и остаточной дисперсии s 2 в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу Н 0: q=0; в) с надежностью g=0,9 определить интервальные оценки параметров q 0 , q 1 ; г) с надежностью g=0,95 определить интервальную оценку условного математического ожидания при х 0 =6; д) определить при g=0,95 доверительный интервал предсказания в точке х =12.

2.7. На основании данных о динамике темпов прироста курса акций за 5 месяцев, приведенных в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

месяцы (x )
y (%)

и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,01 значимость коэффициента регрессии, т.е. гипотезы H 0: q 1 =0;

в) с надежностью g=0,95 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,9 установить интервальную оценку условного математического ожидания при x 0 =4; д) определить при g=0,9 доверительный интервал предсказания в точке x =5.

2.8. Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в табл.2.5.

Таблица 2.5.

Предполагая, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется: а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s 2 ; б) проверить при a=0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезы H 0: q=0;

в) с надежностью g=0,8 найти интервальные оценки параметров q 0 и q 1 ; г) с надежностью g=0,98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x 0 =3 и x 1 =6;

д) определить при g=0,98 доверительный интервал предсказания в точке x =8.

2.9. Себестоимость (y ) одного экземпляра книги в зависимости от тиража (x ) (тыс.экз.) характеризуется данными, собранными издательством (табл.2.6). Определить МНК-оценки и параметров уравнения регрессии гиперболического вида , с надежностью g=0,9 построить доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 , а также условного математического ожидания при x =10.

Таблица 2.6.

Определить оценки и параметров уравнения регрессии вида , проверить при a=0,05 гипотезу Н 0: q 1 =0 и построить с надежностью g=0,9 доверительные интервалы для параметров q 0 и q 1 и условного математического ожидания при x =20.

2.11. В табл. 2.8 представленные данные о темпах прироста (%) следующих макроэкономических показателей n =10 развитых стран мира за 1992г.: ВНП - x (1) , промышленного производства - x (2) , индекса цен - x (3) .

Таблица 2.8.

Страны

x и параметров уравнения регрессии, оценку остаточной дисперсии; б) проверить при a=0,05 значимость коэффициента регрессии, т.е. Н 0: q 1 =0; в) с надежностью g=0,9 найти интервальные оценки q 0 и q 1 ; г) найти при g=0,95 доверительный интервал для в точке х 0 =х i , где i =5; д) сравнить статистические характеристики уравнений регрессий: 1, 2 и 3. 2.12. Задачу 2.11 решить, приняв за объясняемую величину (у ) показатель x (1) , а за объясняющую (х ) переменную x (3) . 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. М., ЮНИТИ, 1998 (2-е издание 2001); 2. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник. М. ЮНИТИ – ДАНА, 2001; 3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М., Финансы и статистика, 1985, 487с.; 4. Айвазян С.А., Бухштабер В. М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерностей. М., Финансы и статисика, 1989, 607с.; 5. Джонстон Дж. Эконометрические методы, М.: Статистика, 1980, 446с.; 6. Дубров А.В., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М., Финансы и статистика, 2000; 7. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Исследование зависимостей методами корреляции и регрессии. М., МЭСИ, 1995, 120с.; 8. Мхитарян В.С., Дубров А.М., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы в экономике. М., МЭСИ, 1995, 149с.; 9. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика для бизнесменов и менеджеров. М., МЭСИ, 2000, 140с.; 10. Лукашин Ю.И. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования: Учебное пособие, М., МЭСИ, 1997. 11. Лукашин Ю.И. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. ‑ М., Статистика, 1979. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 . Варианты заданий для самостоятельных компьютерных исследований.

Матрица парных коэффициентов корреляции

	Y	X1	X2	X3	X4	X5
Y
X1	0,732705
X2	0,785156	0,706287
X3	0,179211	-0,29849	0,208514
X4	0,667343	0,924333	0,70069	0,299583
X5	0,709204	0,940488	0,691809	0,326602	0,992945

В узлах матрицы находятся парные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту взаимосвязи между факторными признаками. Анализируя эти коэффициенты, отметим, что чем больше их абсолютная величина, тем большее влияние оказывает соответствующий факторный признак на результативный. Анализ полученной матрицы осуществляется в два этапа:

1. Если в первом столбце матрицы есть коэффициенты корреляции, для которых /r / < 0,5, то соответствующие признаки из модели исключаются. В данном случае в первом столбце матрицы коэффициентов корреляции исключается фактор или коэффициент роста уровня инфляции. Данный фактор оказывает меньшее влияние на результативный признак, нежели оставшиеся четыре признака.

2. Анализируя парные коэффициенты корреляции факторных признаков друг с другом, (r XiXj), характеризующие тесноту их взаимосвязи, необходимо оценить их независимость друг от друга, поскольку это необходимое условие для дальнейшего проведения регрессионного анализа. В виду того, что в экономике абсолютно независимых признаков нет, необходимо выделить, по возможности, максимально независимые. Факторные признаки, находящиеся в тесной корреляционной зависимости друг с другом, называются мультиколлинеарными. Включение в модель мультиколлинеарных признаков делает невозможным экономическую интерпретацию регрессионной модели, так как изменение одного фактора влечет за собой изменение факторов с ним связанных, что может привести к «поломке» модели в целом.

Критерий мультиколлениарности факторов выглядит следующим образом:

/r XiXj / > 0,8

В полученной матрице парных коэффициентов корреляции этому критерию отвечают два показателя, находящиеся на пересечении строк и . Из каждой пары этих признаков в модели необходимо оставить один, он должен оказывать большее влияние на результативный признак. В итоге из модели исключаются факторы и , т.е. коэффициент роста себестоимости реализованной продукции и коэффициент роста объёма её реализации.

Итак, в регрессионную модель вводим факторы Х1 и Х2.

Далее осуществляется регрессионный анализ (сервис, анализ данных, регрессия). Вновь составляет таблица исходных данных с факторами Х1 и Х2. Регрессия в целом используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений независимых переменных (факторов) и позволяет корреляционную связь между признаками представить в виде некоторой функциональной зависимости называемой уравнением регрессии или корреляционно-регрессионной моделью.

В результате регрессионного анализа получаем результаты расчета многомерной регрессии. Проанализируем полученные результаты.

Все коэффициенты регрессии значимы по критерию Стьюдента. Коэффициент множественной корреляции R составил 0,925, квадрат этой величины (коэффициент детерминации) означает, что вариация результативного признака в среднем на 85,5% объясняется за счет вариации факторных признаков, включенных в модель. Коэффициент детерминированности характеризует тесноту взаимосвязи между совокупностью факторных признаков и результативным показателем. Чем ближе значение R-квадрат к 1, тем теснее взаимосвязь. В нашем случае показатель, равный 0,855, указывает на правильный подбор факторов и на наличие взаимосвязи факторов с результативным показателем.

Рассматриваемая модель адекватна, поскольку расчетное значение F-критерия Фишера существенно превышает его табличное значение (F набл =52,401; F табл =1,53).

В качестве общего результата проведенного корреляционно-регрессионного анализа выступает множественное уравнение регрессии, которое имеет вид:

Полученное уравнение регрессии отвечает цели корреляционно-регрессионного анализа и является линейной моделью зависимости балансовой прибыли предприятия от двух факторов: коэффициента роста производительности труда и коэффициента имущества производственного назначения.

На основании полученной модели можно сделать вывод о том, что при увеличении уровня производительности труда на 1% к уровню предыдущего периода величина балансовой прибыли возрастет на 0,95 п.п.; увеличение же коэффициента имущества производственного назначения на 1% приведет к росту результативного показателя на 27,9 п.п. Слелдовательно, доминирующее влияние на рост балансовой прибыли оказывает увеличение стоимости имущества производственного назначения (обновление и рост основных средств предприятия).

По множественной регрессионной модели выполняется многофакторный прогноз результативного признака. Пусть известно, что Х1 = 3,0, а Х3 = 0,7. Подставим значения факторных признаков в модель, получим Упр = 0,95*3,0 + 27,9*0,7 – 19,4 = 2,98. Таким образом, при увеличении производительности труда и модернизации основных средств на предприятии балансовая прибыль в 1 квартале 2005 г. по отношению к предыдущему периоду (IV квартал 2004 г.) возрастет на 2,98%.

Коэффициент корреляции отражает степень взаимосвязи между двумя показателями. Всегда принимает значение от -1 до 1. Если коэффициент расположился около 0, то говорят об отсутствии связи между переменными.

Если значение близко к единице (от 0,9, например), то между наблюдаемыми объектами существует сильная прямая взаимосвязь. Если коэффициент близок к другой крайней точке диапазона (-1), то между переменными имеется сильная обратная взаимосвязь. Когда значение находится где-то посередине от 0 до 1 или от 0 до -1, то речь идет о слабой связи (прямой или обратной). Такую взаимосвязь обычно не учитывают: считается, что ее нет.

Расчет коэффициента корреляции в Excel

Рассмотрим на примере способы расчета коэффициента корреляции, особенности прямой и обратной взаимосвязи между переменными.

Значения показателей x и y:

Y – независимая переменная, x – зависимая. Необходимо найти силу (сильная / слабая) и направление (прямая / обратная) связи между ними. Формула коэффициента корреляции выглядит так:

Чтобы упростить ее понимание, разобьем на несколько несложных элементов.

Между переменными определяется сильная прямая связь.

Встроенная функция КОРРЕЛ позволяет избежать сложных расчетов. Рассчитаем коэффициент парной корреляции в Excel с ее помощью. Вызываем мастер функций. Находим нужную. Аргументы функции – массив значений y и массив значений х:

Покажем значения переменных на графике:

Видна сильная связь между y и х, т.к. линии идут практически параллельно друг другу. Взаимосвязь прямая: растет y – растет х, уменьшается y – уменьшается х.



Матрица парных коэффициентов корреляции в Excel

Корреляционная матрица представляет собой таблицу, на пересечении строк и столбцов которой находятся коэффициенты корреляции между соответствующими значениями. Имеет смысл ее строить для нескольких переменных.

Матрица коэффициентов корреляции в Excel строится с помощью инструмента «Корреляция» из пакета «Анализ данных».

Между значениями y и х1 обнаружена сильная прямая взаимосвязь. Между х1 и х2 имеется сильная обратная связь. Связь со значениями в столбце х3 практически отсутствует.