1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Определение. Матрицей называется множество чисел, которое составляет прямоугольную таблицу, состоящее изmстрок иnстолбцов

коротко матрицу обозначают так:

где элементы данной матрицы,i– номер строки,j– номер столбца.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m = n ), то матрица называетсяквадратной n -го порядка, а в противном случае –прямоугольной.

Если m = 1 и n > 1, то получаем однострочную матрицу

которая называется вектор-строкой , если, жеm >1 иn =1, то получаем одностолбцовую матрицу

которая называется вектор-столбцом .

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единично, обозначаетсяE .

Матрица, полученная из данной заменой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается.

Две матрицы иравны, если равны между собой элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть если

при всех i иj (при этом число строк (столбцов) матрицA иB должно быть одинаковым).

1°. Суммой двух матрицA =(a ij ) иB =(b ij ) с одинаковым количествомm строк иn столбцов называется матрицаC =(c ij ), элементы которой определяются равенством

Сумму матриц обозначают C =A +B .

Пример.

2 0 . Произведением матрицыA =(a ij ) на числоλ называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицыA на числоλ :

λA =λ (a ij )=(λa ij ), (i =1,2…,m ; j =1,2…,n).

Пример.

3 0 . Произведением матрицыA =(a ij ), имеющейm строк иk столбцов, на матрицуB =(b ij ), имеющейk строк иn столбцов, называется матрицаC =(c ij ), имеющаяm строк иn столбцов, у которой элементc ij равен сумме произведений элементовi -ой строки матрицыA иj -го столбца матрицыB , то есть

При этом число столбцов матрицы A должно быть равно числу строк матрицыB . В противном случае произведение не определено. Произведение матриц обозначается A*B =C.

Пример.

Для произведения матриц не выполняется равенство между матрицами A * B иB * A , в общем случае одна из них может быть не определена.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Пример. Пусть,, тогда согласно правилу умножения матриц имеем

,

откуда заключаем, что

Определители и их свойства.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком "+", а какие со знаком "-", полезно использовать следующее правило треугольников.

Пример.

Сформулируем основные свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. е.

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое числоλ равносильно умножению определителя на это числоλ .

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элементn -го столбца (n -ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один вn -ом столбце (n -ой строке) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

8 0 . Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится.

Например,

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента а 1 определителяΔ является определитель 2-го порядка

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) p , гдер - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Если, например, элемент а 2 находятся на пересечении 1-го столбца и 2-ой строки, то для негор =1+2=3 и алгебраическим дополнением является

9 0 . Определитель равен сумме произведений элементов какого–либо столбца или строки на их алгебраические дополнения.

10 0 . Сумма произведений элементов какого–либо столбца или какой–либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равны нулю.

Возникает вопрос, можно ли для квадратной матрицы А подобрать некоторую матрицу, такую что умножив на нее матрицу А в результате получить единичную матрицу Е , такую матрицу называют обратной к матрице А.

Определение. Матрицаназывается обратной квадратной матрицеA, если.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Элементарными преобразованиями матриц являются:

перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

умножение всех элементов матрицы на число, отличное от нуля;

прибавление ко всем элементами ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Матрица В , полученная из матрицыА с помощью элементарных преобразований, называетсяэквивалентной матрицей.

Для невырожденной квадратной матрицы

третьего порядка обратная матрица А -1 может быть вычислена по следующей формуле

здесь Δ - определитель матрицы А ,A ij – алгебраические дополнения элементовa ij матрицыА.

Элемент строки матрицы называется крайним , если он отличен от нуля, а все элементы строки, находящиеся левее него, равны нулю. Матрица называетсяступенчатой , если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Например:

Не ступенчатая; - ступенчатая.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=A mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов .

Элементы матрицы a ij , у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ .

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn .

Равенство матриц.

A=B , если порядки матриц A и B одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

A mk *B kn =C mn причем каждый элемент с ij матрицы C mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A"

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства опрераций над матрицами

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1 . Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1 . Например

5. Диагональная матрица: m=n и a ij =0 , если i≠j . Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица: m=n и a ij =a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A

Например,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и a ij =-a ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a ii =-a ii )

Ясно, A"=-A

11. Эрмитова матрица: m=n и a ii =-ã ii (ã ji - комплексно - сопряженное к a ji , т.е. если A=3+2i , то комплексно - сопряженное Ã=3-2i )

Матрицы, познакомьтесь с ее основными понятиями. Определяющими элементами матрицы являются ее диагонали - и побочная. Главная начинается с элемента в первом ряду, первом столбце и продолжается до элемента последнего столбца, последнего ряда (то есть идет слева направо). Побочная же диагональ начинается наоборот в первом ряду, но последнем столбце и продолжается до элемента, имеющего координаты первого столбца и последнего ряда (идет справа налево).

Для того чтобы перейти к следующим определениям и алгебраическим операциям с матрицами, изучите виды матриц. Самые простые из них - это квадратная, единичная, нулевая и обратная. В совпадает число столбцов и строк. Транспонированная матрица, назовем ее В, получается из матрицы А, путем замены столбцов на строки. В единичной все элементы главной диагонали - единицы, а другие - нули. А в нулевой даже элементы диагоналей нулевые. Обратная матрица - это та, на которую исходная матрица приходит к единичному виду.

Также матрица может быть симметрична относительно главной или побочной осей. То есть элемент, имеющий координаты а(1;2), где 1 - это номер строки, а 2 - столбца, равен а(2;1). А(3;1)=А(1;3) и так далее. Матрицы согласованными - это те, где количество столбцов одной равно количеству строк другой (такие матрицы можно перемножать).

Главные действия, которые можно совершить с матрицами - это сложение, умножение и нахождение определителя. Если матрицы одинакового размера, то есть имеют равное количество строк и столбцов, то их можно сложить. Складывать необходимо элементы, стоящие на одинаковых местах в матрицах, то есть а (m;n) сложите с в (m;n), где m и n - это соответствующие координаты столбца и строки. При сложении матриц действует главное правило обычного арифметического сложения - при перемене мест слагаемых сумма не меняется. Таким образом, если вместо простого элемента а стоит выражение а+в, то его можно сложить в элементом с другой соразмерной матрицы по правилам а+(в+с)= (а+в)+с.

Умножать можно согласованные матрицы, которым дано выше. При этом получается матрица, где каждый элемент - это сумма попарно перемноженных элементов строки матрицы А и столбца матрицы В. При перемножении очень важен порядок действий. m*n не равно n*m.

Также одно из главных действий - это нахождение . Еще его называют детерминантом и обозначают так: det. Эта величина определяется по модулю, то есть никогда не бывает отрицательной. Легче всего найти детерминант у квадратной матрицы 2х2. Для этого необходимо перемножить элементы главной диагонали и вычесть из них перемноженные элементы побочной диагонали.

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая изэлементов, расположенных вm строках и n столбцах.

Элементы матрицы (первый индексi − номер строки, второй индекс j − номер столбца) могут быть числами, функциями и т. п. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Матрица называется квадратной , если у нее число строк равно числу столбцов (m = n ). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n -го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуютглавную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющие сумму индексов, равнуюn +1) − побочную диагональ .

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е .

Нулевая матрица − это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера.

К числу линейных операций над матрицами относятся:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С , все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В :

.

Произведением матрицы А на число k называется матрица В , все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А , умноженным на число k :

Операция умножения матриц вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрицаС размерности , элементi -ой строки и j -го столбца которой равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В :

Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.е. в общем случае А В В А .

1.2. Определители. Свойства определителей

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

Первое из слагаемых со знаком «+» представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы (). Остальные два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали (и). Со знаком «-» входят произведения элементов побочной диагонали () и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали (и).

Это правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников (или правилом Саррюса).

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей 3-го порядка.

1. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы определителя равноправны

.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.

3. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен 0.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен 0.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом − вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,

.

8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.